Siatka punktów pozwala porównywać figury, przesuwać wierzchołki i szukać wysokości. Nie musisz budować tablicy z gwoździami: do pierwszych ćwiczeń wystarczy papier w kratkę. Umówmy się, że odstęp między sąsiednimi punktami w poziomie i pionie ma długość jednej jednostki.
Prostokąt: dwie różne miary
Zaznacz A = (0, 0), B = (4, 0), C = (4, 3), D = (0, 3). Pole prostokąta to 4·3 = 12 jednostek kwadratowych, a obwód 2·4 + 2·3 = 14 jednostek długości. Pole liczy jednostkowe kwadraty wewnątrz, obwód mierzy granicę.
Podpisuj jednostki nawet wtedy, gdy nie nadajesz im nazwy centymetra. Pole i obwód prostokąta wymagają różnych rodzajów jednostek; wspólny rysunek nie oznacza wspólnego działania.
Trójkąty o tej samej podstawie i wysokości
Zostaw A i B, a trzeci wierzchołek umieść najpierw w (1, 3), potem w (3, 3), a następnie w (6, 3). Każdy trójkąt ma podstawę 4 i wysokość 3, więc pole wynosi 4·3/2 = 6. W trzecim przypadku spodek wysokości leży poza odcinkiem AB, ale na tej samej prostej co podstawa.
Przesunięcie wierzchołka równolegle do podstawy nie zmieniło pola. Zmieniło natomiast długości ramion, więc nie wolno automatycznie zakładać tego samego obwodu. Wzory na pole trójkąta odwołują się do wysokości, nie do dowolnego ukośnego boku.
Ukośna krawędź nie jest liczbą kratek
Odcinek od (0, 0) do (1, 3) ma długość √(1² + 3²) = √10, a nie 4. Cztery jednostki dają drogę po kratkach: jedną w prawo i trzy w górę. Prosta łącząca końce tej drogi jest innym odcinkiem.
Do dokładnego obwodu figury z ukośnymi bokami używaj twierdzenia Pitagorasa. Samo liczenie punktów na granicy nie mierzy długości. Dodatkowo odcinek długości 4 między punktami 0 i 4 zawiera pięć punktów całkowitych — liczba punktów i liczba odstępów również się różnią.
- Zaznacz jedną jednostkę długości.
- Odczytaj współrzędne końców odcinka.
- Oddziel pokrywanie pola od mierzenia obwodu.
- Wysokość prowadź prostopadle do prostej zawierającej podstawę.
Zadanie porównawcze
Porównaj prostokąty 2 × 6 i 3 × 4. Oba mają pole 12, ale obwody 16 i 14. Ten przykład obala tezę, że jednakowe pole zawsze oznacza jednakowy obwód. Jeden rysunek nie dowodzi zdania ogólnego, lecz wystarcza jako kontrprzykład do błędnego twierdzenia.
Na koniec powiększ wszystkie współrzędne jednego prostokąta dwukrotnie. Pole urośnie cztery razy, a obwód dwa. Jest to punkt wyjścia do skali figur podobnych, już bez mylenia zmiany jednostki z liczbą wierzchołków.
Dalszym krokiem jest trójkąt opisany współrzędnymi, w którym z tej samej siatki wyznaczamy długości, pole oraz równania wysokości. To połączenie rysunku i algebry, a nie nowa jednostka pomiaru. Inne wykorzystanie tej samej siatki to rysunek jedną kreską: odległości przestają być najważniejsze, a liczy się liczba połączeń w punktach.