Podstawianie pozwala zamienić układ dwóch równań na równanie z jedną niewiadomą. Kluczowe jest zachowanie całego wyrażenia, które zastępuje literę. Nawias nie jest ozdobą: chroni przed zmianą znaków i pominięciem części sumy.
Wybierz wygodne równanie
Rozwiążmy układ y = 2x − 1 oraz 3x + 2y = 19. Pierwsze równanie od razu opisuje y przez x. W drugim zastępujemy całe y wyrażeniem 2x − 1: 3x + 2(2x − 1) = 19. Otrzymujemy 3x + 4x − 2 = 19, czyli 7x = 21, zatem x = 3. Dopiero teraz wracamy do y = 2·3 − 1 = 5.
Odpowiedzią jest para (3, 5), a nie sama trójka. Kontrola w obu równaniach daje 5 = 6 − 1 oraz 9 + 10 = 19. Wystarczy zgodność z jednym równaniem? Nie: druga zależność może wykluczyć parę, która pasuje do pierwszej.
Gdy nie ma gotowej postaci y = …
Dla układu x + y = 10 oraz 2x + 5y = 38 wygodnie wyznaczyć x = 10 − y. Podstawiamy 2(10 − y) + 5y = 38, a więc 20 + 3y = 38. Stąd y = 6 i x = 4. Wybór x zmniejszył liczbę ułamków; wyznaczenie y też byłoby poprawne.
Podstawianie korzysta z przekształcania wyrażeń algebraicznych i równań liniowych z jedną niewiadomą. Jeśli oba równania mają wygodne współczynniki przy jednej literze, porównaj tę metodę z metodą przeciwnych współczynników. Nie każda metoda jest równie krótka w każdym układzie.
Co oznacza 0 = 0 albo 0 = 3?
Układ y = 2x + 1 oraz 2y = 4x + 2 po podstawieniu daje 4x + 2 = 4x + 2. To tożsamość, więc każde x rzeczywiste z odpowiadającym y = 2x + 1 tworzy rozwiązanie. Nie oznacza to, że x i y można wybierać niezależnie.
Gdy drugie równanie brzmi 2y = 4x + 5, podstawienie prowadzi do 2 = 5. Jest sprzeczność i układ nie ma rozwiązania. Zniknięcie liter nie jest sygnałem, żeby wpisać x = 0.
- Wyznacz jedną literę bez zmiany sensu równania.
- Podstaw całe wyrażenie, z nawiasem, gdy jest sumą lub różnicą.
- Oblicz drugą niewiadomą i sprawdź parę w obu warunkach.
Zadania do przećwiczenia
A. y = x + 4, 2x + y = 13. B. x − y = 2, 3x + y = 14. C. y = 3x, 2y = 6x + 1.
W A mamy 2x + x + 4 = 13, więc x = 3, y = 7. W B podstaw x = y + 2: 3y + 6 + y = 14, zatem y = 2, x = 4. W C otrzymujesz 6x = 6x + 1, więc brak rozwiązań. Jeśli błąd pojawia się przy rozwijaniu nawiasu, zapisuj go jako osobny krok — taki przypadek warto odróżnić od problemu z samą metodą w analizie błędów matematycznych.
Układ jako zadanie o dwóch cenach
Dwa bilety normalne i jeden ulgowy kosztują 34 zł, a normalny jest o 7 zł droższy od ulgowego. Oznacz cenę ulgową przez u, normalną przez n. Mamy 2n + u = 34 i n = u + 7. Po podstawieniu 2u + 14 + u = 34, więc u = 20/3 zł, a n = 41/3 zł.
To poprawne rozwiązanie równań, ale przy założeniu cen w pełnych groszach nie opisuje dokładnych cen: ułamki mają nieskończone rozwinięcie okresowe. Nie zaokrąglaj ich i nie ogłaszaj, że wówczas suma nadal dokładnie wynosi 34 zł. Trzeba zauważyć ograniczenie modelu lub sprawdzić dane zadania. Równanie i praktyczny warunek są dwoma etapami kontroli.