Dwa razy więcej nie zawsze oznacza dwa razy drożej ani dwa razy dłużej. Najpierw trzeba sprawdzić, co w zadaniu pozostaje stałe. Proporcjonalność jest konkretną zależnością liczbową, a nie ogólnym określeniem sytuacji, w której dwie wielkości razem rosną.
Stały iloraz czy stały iloczyn?
W proporcjonalności prostej y = ax, więc dla x różnego od zera iloraz y/x jest stały. Jeśli kilogram produktu kosztuje 8 zł i nie ma opłaty dodatkowej, koszt 3 kg wynosi 24 zł, a 5 kg — 40 zł. W obu przypadkach cena podzielona przez masę to 8 zł/kg. Podwojenie masy podwaja koszt.
W proporcjonalności odwrotnej y = a/x przy x różnym od zera stały jest iloczyn xy. Dla przejazdu tej samej trasy 120 km czas przy prędkości 40 km/h to 3 h, a przy 60 km/h — 2 h. Mnożenie prędkości przez czas daje za każdym razem 120 km. To model ruchu ze stałą prędkością, bez postojów.
Przykład, który nie jest proporcjonalnością
Przejazd kosztuje 10 zł opłaty początkowej i 3 zł za kilometr. Wzór C = 10 + 3x opisuje funkcję liniową, lecz koszt nie jest wprost proporcjonalny do odległości. Dwa kilometry kosztują 16 zł, cztery — 22 zł, a nie 32 zł. Ilorazy 16/2 i 22/4 nie są równe.
Ten przykład pokazuje, dlaczego samo zdanie „im dalej, tym drożej” nie wystarcza. Wprost proporcjonalny model przechodzi przez punkt (0, 0); tutaj przy zerowej odległości wzór nadal przewiduje 10 zł.
Tabela: najpierw próba, potem rachunek
Dane są pary (2, 18), (3, 12), (6, 6). Ilorazy y/x różnią się, ale iloczyny wynoszą 36. Przy założeniu odwrotnej proporcjonalności otrzymujemy y = 36/x, więc dla x = 9 mamy y = 4. Kilka zgodnych par nie udowadnia jednak modelu dla każdej możliwej wartości; w zadaniu potrzebujemy odpowiedniego założenia.
- Nazwij obie wielkości i ich jednostki.
- Ustal, co jest niezmienne: stawka, droga, pole czy inna wielkość.
- Sprawdź iloraz lub iloczyn, zamiast wybierać działanie ze słowa „więcej”.
- Podstaw otrzymaną parę do pierwotnego warunku.
Przy dzieleniu warto wcześniej uporządkować działania na ułamkach zwykłych. W zadaniach o czasie pomoże też rozróżnienie prędkości, drogi i czasu.
Sprawdź samodzielnie
1. Siedem identycznych zeszytów kosztuje 35 zł. Ile kosztuje jedenaście przy tej samej cenie sztuki? 2. Prostokąt ma stałe pole 48 cm². Jaką wysokość ma przy podstawie 8 cm? 3. Czy zależność y = 2x + 5 jest wprost proporcjonalna?
Rozwiązania: cena zeszytu to 35/7 = 5 zł, więc jedenaście kosztuje 55 zł. W drugim zadaniu 8h = 48, stąd h = 6 cm; podstawa i wysokość są odwrotnie proporcjonalne przy stałym polu. Trzeci wzór nie opisuje proporcjonalności prostej, bo dodaje stałą 5. Odpowiedź trzeba uzasadnić własnością zależności, a nie samym kształtem zapisu.
Dwie wielkości rosną, ale zależność bywa kwadratowa
Bok kwadratu 2, 3 i 4 daje pola 4, 9 i 16. Obie wielkości rosną, lecz iloraz pola przez bok wynosi kolejno 2, 3 i 4, a nie stałą. Pole jest proporcjonalne do kwadratu boku, nie do samego boku. Przy podwojeniu z 2 do 4 pole rośnie z 4 do 16, cztery razy.
Podobna ostrożność dotyczy pracy ludzi. Model „dwa razy więcej osób — dwa razy krócej” wymaga jednakowej wydajności, niezależnego podziału pracy i braku dodatkowych ograniczeń. W zadaniu można go przyjąć, gdy wynika z treści. W rzeczywistej organizacji nie jest automatyczną prawdą. Pytaj o założenie, które utrzymuje stały iloczyn.
Przy stałym procentowym przyroście na kolejny etap pojawia się jeszcze inny model: wzrost wykładniczy. Warto porównać go z dodawaniem stałej liczby, zanim uznamy każdą rosnącą tabelę za proporcjonalność.