Powiększenie rysunku dwa razy nie oznacza, że jego pole też rośnie dwa razy. Skala długości działa w każdym kierunku, więc powierzchnia otrzymuje dwa czynniki, a objętość trzy. Zanim podstawisz liczby, ustal, jaki rodzaj wielkości porównujesz.
Odpowiadające sobie odcinki
Przyjmijmy k = długość w drugiej figurze / odpowiadająca długość w pierwszej. Dla figur podobnych ten sam dodatni współczynnik opisuje wszystkie odpowiadające odcinki. Obwód również mnożymy przez k, bo jest sumą długości.
Prostokąt 3 cm na 5 cm powiększony w skali k = 2 ma boki 6 cm i 10 cm. Obwód rośnie z 16 cm do 32 cm. Pole wynosi jednak 15 cm² przed zmianą i 60 cm² po niej: stosunek to 4 = 2². Wzór na pole i obwód prostokąta pokazuje tę różnicę bez potrzeby zapamiętywania osobnych przykładów.
Dlaczego pole mnożymy przez k²?
W prostokącie oba wymiary mnożymy przez k, więc (ka)(kb) = k²ab. W trójkącie podobnie zmieniają się podstawa i odpowiadająca wysokość: (ka)(kh)/2 = k²·ah/2. Ogólna zależność dla figur podobnych to P₂/P₁ = k².
Jeżeli stosunek pól wynosi 9, skala długości to 3, nie 9. Jeśli pola mają stosunek 1/16, dodatnia skala długości wynosi 1/4. Przy przechodzeniu z pola do długości wyciągamy pierwiastek, pamiętając o kierunku porównania.
Bryły: trzeci wymiar dodaje kolejny czynnik
Sześcian o krawędzi 2 cm ma objętość 8 cm³. Po powiększeniu krawędzi do 6 cm skala wynosi 3, a objętość to 216 cm³. Stosunek objętości 216/8 = 27 = 3³. Pole powierzchni zmienia się w stosunku 3² = 9.
Dla brył podobnych V₂/V₁ = k³. Nie stosujemy tej zasady do dowolnych dwóch brył: samo porównanie wysokości walców nie ustala skali, jeśli promienie nie zmieniły się w tym samym stosunku. Zobacz wymiary i objętość sześcianu, zanim uogólnisz rachunek.
Typowe pułapki
- Zapisz, która figura jest pierwsza, a która druga; odwrócenie kolejności odwraca stosunek.
- Sprawdź podobieństwo: proporcje odpowiadających wymiarów muszą być zgodne.
- Długość porównuj z długością, pole z polem, objętość z objętością.
- Rozróżniaj skalę 1:4 od polecenia „pomniejsz pole cztery razy”.
W planie mieszkania potrzebne jest dodatkowo poprawne przeliczanie jednostek. To rozwija poradnik o skali planu i rzeczywistych wymiarach.
Dwie próby z odpowiedziami
Podobne trójkąty mają boki odpowiadające 4 cm i 10 cm. Pole pierwszego to 12 cm². Ponieważ k = 10/4 = 2,5, drugie pole wynosi 12·6,25 = 75 cm². Gdyby zamieniono kolejność figur, trzeba użyć k = 0,4.
Dwie podobne bryły mają objętości 125 cm³ i 1000 cm³. Stosunek wynosi 8, więc skala długości to 2. Stosunek pól powierzchni jest równy 4. W odpowiedzi podaj zarówno wartość, jak i to, czego ona dotyczy: liczba 2 sama nie mówi, czy porównujesz krawędzie, pola czy objętości.
Jak rozpoznać brak podobieństwa
Prostokąty 2 × 6 i 4 × 9 nie są podobne, jeśli odpowiadają sobie krótsze i dłuższe boki. Krótszy wzrósł dwa razy, a dłuższy półtora raza. Nie ma jednej skali k. Sam fakt, że oba kąty są proste, nie wystarcza do podobieństwa dowolnych czworokątów.
Dla porównania prostokąty 2 × 6 i 3 × 9 są podobne w skali 1,5. Ich pola 12 i 27 mają stosunek 2,25, a obwody 16 i 24 — stosunek 1,5. Sprawdzenie odpowiadających boków powinno poprzedzać użycie wzoru na stosunek pól. Jest to kontrola założenia, a nie dodatkowy wzór do zapamiętania.