W działaniach na ułamkach dziesiętnych o wyniku decyduje wartość pozycji cyfry. Inaczej ustawiamy liczby przy dodawaniu, inaczej wyznaczamy przecinek w iloczynie, a przy dzieleniu zmieniamy oba składniki ilorazu. Poniższe przykłady pokazują te różnice oraz proste sposoby kontroli, dzięki którym można zauważyć przesunięcie przecinka jeszcze przed oddaniem zadania.
Co oznaczają cyfry po przecinku?
W liczbie 3,407 cyfra 4 oznacza cztery części dziesiąte, 0 oznacza brak części setnych, a 7 oznacza siedem części tysięcznych. Zero między cyframi jest potrzebne, bo określa ich pozycje. Zero dopisane na końcu części dziesiętnej nie zmienia jednak wartości: 2,5 = 2,50 = 2,500. Używamy tej własności, aby wyrównywać zapis liczb, nie zmieniając danych zadania.
Przy porównywaniu liczb najpierw porównaj części całkowite, potem kolejne cyfry po przecinku. Liczba 0,8 jest większa od 0,75, ponieważ można zapisać ją jako 0,80. Większa liczba cyfr nie oznacza większej wartości. Gdy potrzebujesz zapisu dokładnego jako ilorazu liczb całkowitych, pomocne są ułamki zwykłe i ich skracanie: 0,375 to 375/1000, czyli 3/8.
Nie myl dopisywania końcowych zer z przesuwaniem przecinka. Liczby 1,20 i 1,2 są równe, natomiast 12,0 jest dziesięć razy większe. Wartość zależy od położenia cyfry względem przecinka, a nie wyłącznie od zestawu cyfr. To samo rozumowanie stoi za mnożeniem i dzieleniem przez 10, 100 oraz 1000.
Dodawanie i odejmowanie: te same rzędy pod sobą
W zapisie pisemnym przecinek umieszczamy pod przecinkiem. Wtedy jedności trafiają pod jedności, części dziesiąte pod dziesiąte, a setne pod setne. W razie potrzeby dopisujemy końcowe zera. Dla 7,26 + 0,8 wygodnie zapisać drugi składnik jako 0,80. Wynik to 8,06. Ustawienie obu liczb tylko do prawej krawędzi kartki bez wyrównania przecinków prowadziłoby do dodawania różnych rzędów.
Podobnie odejmujemy 5 – 2,47: zapis 5,00 – 2,47 daje 2,53. W rachunku pisemnym trzeba rozbić jedności na części dziesiąte i setne, ale zera nie zmieniają wartości odjemnej. Gdy odjemnik jest większy od odjemnej, wynik jest ujemny. Na przykład 1,2 – 1,85 = -0,65. Nie zamieniaj kolejności liczb tylko po to, żeby otrzymać wynik dodatni.
Wynik odejmowania można sprawdzić dodawaniem: 2,53 + 2,47 = 5. Przy dodawaniu pomaga oszacowanie: 7,26 jest nieco większe od 7, a 0,8 mniejsze od 1, więc suma powinna być bliska 8. Wynik 15,26 nie pasowałby do danych. Takie oszacowanie nie zastępuje dokładnego rachunku, ale wskazuje, czy jego rząd wielkości jest rozsądny.
Mnożenie i liczba miejsc po przecinku
Przy mnożeniu można najpierw wykonać działanie na liczbach bez przecinków, a następnie uwzględnić łączną liczbę miejsc dziesiętnych czynników. W działaniu 1,25 · 0,4 obliczamy 125 · 4 = 500. Pierwszy czynnik ma dwa miejsca po przecinku, a drugi jedno, więc zapisujemy 0,500 = 0,5. Końcowe zera można usunąć dopiero po poprawnym wyznaczeniu pozycji przecinka.
W iloczynie 0,06 · 0,3 działanie 6 · 3 daje 18, ale potrzeba trzech miejsc dziesiętnych. Wynik wynosi 0,018. Brakujące miejsce uzupełnia zero. Mnożenie przez dodatnią liczbę mniejszą od 1 zmniejsza dodatni czynnik, dlatego odpowiedź 0,18 byłaby podejrzana: jest większa od 0,06, chociaż obliczamy tylko trzy dziesiąte tej liczby.
Film Pi-stacji pokazuje mnożenie ułamków dziesiętnych i ustalanie liczby miejsc po przecinku, także w wynikach z zerami.
Gdy jeden czynnik jest liczbą całkowitą, zasada pozostaje taka sama. Iloczyn 2,35 · 6 wynosi 14,10, czyli 14,1. Dwa miejsca w pierwszym zapisie pochodzą z dwóch miejsc czynnika 2,35. Nie przepisujemy przecinka pod przecinkiem jak przy dodawaniu: dla mnożenia położenie przecinka w wyniku wynika z wartości obu czynników.
| Działanie | Zasada i przykład |
|---|---|
| Dodawanie | Wyrównaj przecinki: 2,7 + 0,35 = 3,05. |
| Odejmowanie | Dopisz końcowe zera, jeśli pomagają: 4,00 – 1,65 = 2,35. |
| Mnożenie | Zlicz miejsca dziesiętne czynników: 0,2 · 0,4 = 0,08. |
| Dzielenie | Zamień dzielnik na całkowity: 1,2 : 0,3 = 12 : 3 = 4. |
Dzielenie przez liczbę dziesiętną
Wartość ilorazu nie zmienia się po pomnożeniu dzielnej i niezerowego dzielnika przez tę samą niezerową liczbę. Dzięki temu dzielenie 4,68 : 0,6 zamieniamy na 46,8 : 6 i otrzymujemy 7,8. Przesuwamy przecinek w obu liczbach o tyle samo miejsc. Gdyby zmienić tylko dzielnik, powstałoby inne działanie i inny wynik.
Dla 0,096 : 0,12 potrzebne jest pomnożenie obu liczb przez 100. Dostajemy 9,6 : 12 = 0,8. Sprawdzenie mnożeniem daje 0,8 · 0,12 = 0,096. To, że dzielna jest mała, nie przesądza o małym ilorazie. Dzielenie przez dodatnią liczbę mniejszą od 1 zwiększa dodatnią dzielną, co widać w przykładzie 3 : 0,5 = 6.
Przez zero nie dzielimy. Natomiast zero podzielone przez dowolną liczbę niezerową daje zero. W rachunku pisemnym nie zawsze otrzymamy rozwinięcie skończone: 1 : 3 prowadzi do 0,333… . Jeśli polecenie wymaga dokładnego wyniku, zostawiamy ułamek 1/3 albo zapis okresowy. Sam zapis 0,33 jest tylko przybliżeniem, nie równą wartością.
Kolejność działań, przybliżenia i kontrola
Przecinki nie zmieniają kolejności wykonywania działań. W wyrażeniu 1,2 + 0,6 · 0,5 najpierw obliczamy iloczyn 0,3, potem sumę 1,5. Z nawiasem (1,2 + 0,6) · 0,5 otrzymujemy 0,9. Nawias jest więc informacją o kolejności, a nie dekoracją zapisu.
Jeżeli wynik ma być zaokrąglony do setnych, sprawdź cyfrę tysięcznych. W liczbie 2,376 jest to 6, więc przybliżenie wynosi 2,38. Przy 2,374 otrzymujemy 2,37. W obliczeniach z kilkoma etapami przechowuj dokładną wartość tak długo, jak to możliwe. Powtarzane zaokrąglanie może zmienić ostatnią cyfrę końcowego wyniku.
- Przy dodawaniu i odejmowaniu sprawdź wyrównanie przecinków.
- Przy mnożeniu policz łączne miejsca dziesiętne, także początkowe zera.
- Przy dzieleniu przesuń przecinek w obu liczbach jednakowo.
- Oszacuj, czy wynik powinien być większy, czy mniejszy od liczby wyjściowej.
- Wykonaj działanie odwrotne i rozróżnij wynik dokładny od przybliżenia.
Umiejętność odczytywania części dziesiętnych pomaga też przy obliczeniach procentowych: 0,25 oznacza 25%, ale 0,25% oznacza 0,0025 całości. Zanim wykonasz rachunek, zapisz, co opisuje liczba. Dzięki temu poprawne mnożenie nie posłuży do rozwiązania innego problemu niż ten wskazany w zadaniu.