W zadaniu o kuli jeden promień wystarcza do obliczenia zarówno pola powierzchni, jak i objętości. Trzeba jednak rozpoznać, czy podano promień, średnicę czy wymiar przekroju. Poniżej rozdzielamy te pojęcia, wykonujemy obliczenia w obie strony i sprawdzamy, jak zmiana rozmiaru wpływa na wynik. Wszystkie przykłady dotyczą idealnej bryły geometrycznej, a nie dokładnego kształtu rzeczywistych przedmiotów.
Kula, sfera, promień i średnica
Kula obejmuje punkty przestrzeni odległe od ustalonego środka o nie więcej niż promień r. Zawiera więc wnętrze oraz brzeg. Sfera jest samym brzegiem: każdy jej punkt leży dokładnie w odległości r od środka. Kiedy liczymy pole powierzchni kuli, obliczamy pole sfery. Kiedy liczymy objętość, interesuje nas cała przestrzeń wewnątrz bryły, a nie tylko jej powierzchnia.
Promień łączy środek z punktem powierzchni. Średnica przechodzi przez środek i łączy dwa punkty powierzchni, dlatego 
. Jeśli zadanie podaje średnicę 14 cm, do wzorów z r podstawiamy 7 cm. Taki podział wykonujemy przed potęgowaniem. Użycie średnicy zamiast promienia zawyży pole czterokrotnie, a objętość ośmiokrotnie.
Na rysunku kula wygląda jak koło z zaznaczonymi łukami, ale opisuje bryłę przestrzenną. Płaski okrąg zaznaczony wewnątrz może przedstawiać brzeg przekroju. Nie oznacza to, że całą powierzchnię kuli obliczamy wzorem na pole jednego koła. Rozróżnienie pola koła i jego obwodu przydaje się dopiero wtedy, gdy zadanie rzeczywiście dotyczy przekroju.
Pole powierzchni i objętość kuli
Pole powierzchni kuli wyraża wzór 
. Jest cztery razy większe od pola koła o tym samym promieniu. Dla r = 5 cm wynosi 100π cm². Wynik mówi, jak duża jest powierzchnia, nie ile przestrzeni znajduje się wewnątrz. W zadaniach o pokrywaniu całej powierzchni idealnej kuli to właśnie ten wzór będzie punktem wyjścia.
Objętość obliczamy inaczej: 
. Promień podnosimy do trzeciej potęgi i mnożymy przez cztery trzecie liczby π. Przy r = 3 cm otrzymujemy 
cm³. Mnożenie można uprościć, dzieląc 27 przez 3, zanim pomnożymy wynik przez 4. Nie wolno skrócić liczby 3 z wykładnikiem potęgi: wykładnik nie jest czynnikiem iloczynu.
Film Pi-stacji pokazuje wzór na objętość kuli oraz przykład wyznaczania promienia z podanej objętości.
| Co podano? | Od czego zacząć? |
|---|---|
| Promień | Bezpośrednio użyj wzoru na szukane pole lub objętość. |
| Średnica | Najpierw podziel ją przez 2, aby otrzymać promień. |
| Pole powierzchni | Wyznacz kwadrat promienia, a następnie dodatni promień. |
| Objętość | Wyznacz sześcian promienia i użyj pierwiastka trzeciego stopnia. |
Jak odzyskać promień z pola lub objętości?
Załóżmy, że pole powierzchni wynosi 144π cm². Równanie 
po podzieleniu przez 4π daje 
. Długość promienia wynosi 6 cm, a nie -6 cm. Obie liczby mają taki sam kwadrat, ale ujemna nie może opisywać długości. Teraz można obliczyć objętość tej samej kuli: wynosi ona 288π cm³.
Jeżeli zamiast pola znamy objętość 500π/3 cm³, równanie prowadzi do 
, czyli r = 5 cm. W takim zadaniu potrzebny jest pierwiastek trzeciego stopnia, nie kwadratowy. Na koniec podstaw promień do pierwotnego wzoru, a dopiero potem wyznaczaj inne wielkości. Kontrola w równaniu wyjściowym pozwala zauważyć zgubiony mianownik albo czynnik 4.
Wynik z liczbą π jest dokładny. Jeśli polecenie wymaga przybliżenia, zaokrąglamy zgodnie z podaną dokładnością, najlepiej dopiero na końcu. Napis 36π i liczba 113,10 nie mają tego samego statusu: pierwszy zapis jest dokładny, a drugi przybliżony. Przy porównywaniu dwóch kul często wystarczy skrócić wspólną liczbę π, bez wykonywania przybliżeń.
Przekrój centralny i przekrój poza środkiem
Płaszczyzna przechodząca przez środek kuli wycina koło wielkie. Jego promień jest równy promieniowi kuli, więc pole przekroju wynosi 
. Obwód tego przekroju jest natomiast długością okręgu: 
. Podanie pola przekroju centralnego nie jest zatem podaniem pola całej powierzchni; to drugie jest cztery razy większe.
Gdy płaszczyzna przecina kulę, ale nie przechodzi przez środek, otrzymujemy mniejsze koło. Oznaczmy jego promień przez ρ, a odległość płaszczyzny od środka przez h. Powstaje trójkąt prostokątny opisany równaniem 
. Wyjaśnia to zastosowanie twierdzenia Pitagorasa do odcinków w przestrzeni. Nie podstawiaj odległości h jako promienia przekroju.
Dla kuli o promieniu 13 cm i płaszczyzny oddalonej od środka o 5 cm otrzymujemy promień przekroju 12 cm, ponieważ 169 – 25 = 144. Pole tego koła to 144π cm². Jeżeli odległość płaszczyzny od środka zrówna się z promieniem, pozostanie jeden punkt styczności. Przy większej odległości płaszczyzna nie przetnie kuli. Zawsze więc sprawdź, czy opisane dane pozwalają otrzymać przekrój kołowy.
Skala, jednostki i kontrola odpowiedzi
Po pomnożeniu promienia przez dodatni współczynnik k pole powierzchni jest mnożone przez 
, a objętość przez 
. Wynika to bezpośrednio z działań na potęgach. Dwukrotnie większy promień oznacza czterokrotnie większe pole i ośmiokrotnie większą objętość. Dla promienia zmniejszonego o połowę otrzymujemy odpowiednio jedną czwartą i jedną ósmą wartości.
- Sprawdź, czy wymiar jest promieniem, czy średnicą.
- Ujednolić jednostki długości trzeba przed podstawieniem do wzoru.
- Pole zapisuj w jednostkach kwadratowych, a objętość w sześciennych.
- Przy przeliczaniu pamiętaj, że 1 dm³ to 1 litr, a 1 cm³ to 1 mililitr.
- W zadaniu o przekroju ustal, czy płaszczyzna przechodzi przez środek.
Jeśli promień podano w decymetrach, objętość ze wzoru otrzymasz w decymetrach sześciennych, a więc również w litrach. Nie przenoś jednak tej zależności na pole: decymetr kwadratowy nie jest jednostką pojemności. Zakończ zadanie pełnym zdaniem wskazującym obliczoną wielkość i jej jednostkę. Sama liczba nie pozwala rozpoznać, czy odpowiedź dotyczy powierzchni, przekroju czy wnętrza kuli.