Zdanie o wszystkich liczbach wymaga innego argumentu niż pytanie, czy istnieje choć jeden przykład. W zadaniach szkolnych te sformułowania często decydują o sposobie rozwiązania. Zanim zaczniesz liczyć, zaznacz słowa „każdy”, „istnieje”, „zawsze” i „nie może”.
Kiedy przykład wystarcza
„Istnieje liczba parzysta, która jest pierwsza” można uzasadnić wskazaniem 2. Ma ona dokładnie dwa dodatnie dzielniki: 1 i 2. Nie trzeba analizować innych liczb. Ten sam przykład obala zdanie „każda liczba parzysta jest złożona”.
Do zdania „każda liczba kończąca się cyfrą 5 jest złożona” również nie wystarczy przypomnieć 15, 25 i 35. Liczba 5 jest pierwsza. Poprawne zdanie wymaga dodatkowego warunku, np. dodatnia liczba całkowita większa od 5 i kończąca się cyfrą 5 jest złożona.
Przypadki nie zastępują dowodu
Sprawdź tezę: suma trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielna przez 3. Dla 4, 5, 6 suma wynosi 15, a dla 10, 11, 12 — 33. To przykłady zgodne z tezą. Dowód zapisujemy przez ogólny początek n: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 = 3(n + 1). Czynnik 3 występuje zawsze.
Założenie, że liczby są całkowite, ma znaczenie dla pojęcia podzielności. Nie przechodzimy bez komentarza do dowolnych liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne służą tu opisaniu całej rodziny przypadków.
Kontrprzykład geometryczny
Czy prostokąty o tym samym polu muszą mieć ten sam obwód? Wystarczą wymiary 2 × 6 i 3 × 4. Pola wynoszą po 12, lecz obwody 16 i 14. To poprawny kontrprzykład: spełnia warunek o polu i nie spełnia wniosku o obwodzie.
Nie wystarczy wybrać dwóch dowolnych różnych prostokątów. Jeśli ich pola też będą różne, nie przetestują rozpatrywanego zdania. Zobacz wzory dotyczące prostokąta i porównania na siatce.
Argument o niemożliwości
Czy trzy nieparzyste liczby całkowite mogą mieć sumę 20? Zapisz je jako 2a + 1, 2b + 1 i 2c + 1. Suma to 2(a + b + c + 1) + 1, a więc liczba nieparzysta. Nie jest równa parzystemu 20. Obejrzeliśmy całą klasę liczb, nie tylko małe dodatnie przykłady.
- Przy zdaniu o istnieniu podaj przykład i sprawdź wszystkie warunki.
- Przy obalaniu zdania ogólnego podaj kontrprzykład spełniający założenia.
- Przy dowodzie ogólnym użyj zapisu obejmującego wszystkie dopuszczalne przypadki.
- Końcowe zdanie połącz z pytaniem, nie zostawiaj samego wyrażenia.
Rozumowanie o parzystości rozwija tekst o niezmiennikach, a trudniejszą wersję argumentacji — dowód nie wprost. W zadaniach egzaminacyjnych zapoznaj się również z zasadami oceniania właściwego arkusza: powyższe wskazówki wyjaśniają logikę uzasadnienia, nie gwarantują punktacji za dowolny skrócony zapis.