Równanie z niewiadomą w mianowniku wymaga dwóch prac: ustalenia, jakie wartości wolno podstawić, i wykonania przekształceń. Poprawne rozwiązanie równania po usunięciu mianowników może nadal nie być rozwiązaniem zadania wyjściowego. Dlatego ograniczenia zapisujemy przed rachunkiem.
Mianownik nie może być zerem
Dla 2/(x − 1) = 3 od razu wykluczamy x = 1. Przy x ≠ 1 mnożenie przez x − 1 jest dozwolone: 2 = 3(x − 1), czyli 3x = 5 i x = 5/3. Ta liczba należy do dziedziny. Wstawienie daje 2/(2/3) = 3, więc kontrola wypada poprawnie.
Ograniczenie wynika z pierwotnego zapisu, nie z postaci otrzymanej na końcu. Warto wcześniej przejrzeć wyznaczanie dziedziny funkcji i dzielenie ułamków, ponieważ obie umiejętności pracują w tym samym przykładzie.
Dwa mianowniki
Rozwiążmy 1/x + 1/(x + 1) = 3/2. Warunki: x ≠ 0 i x ≠ −1. Mnożymy przez 2x(x + 1), otrzymując 2(x + 1) + 2x = 3x(x + 1). Po uporządkowaniu 3x² − x − 2 = 0. Rozkład (3x + 2)(x − 1) = 0 daje x = −2/3 lub x = 1.
Oba wyniki są dozwolone. Dla −2/3 lewa strona wynosi −3/2 + 3 = 3/2, a dla 1 jest równa 1 + 1/2. Wspólny mianownik nie musi być najmniejszy, ale musi usunąć wszystkie mianowniki bez pominięcia mnożników.
Skrócenie nie przywraca wykluczonej liczby
W równaniu (x² − 1)/(x − 1) = 2 mamy x ≠ 1. Rozkład licznika daje (x − 1)(x + 1), więc na dozwolonej dziedzinie lewa strona jest równa x + 1. Z x + 1 = 2 wynika x = 1, lecz ta liczba jest wykluczona. Równanie nie ma rozwiązań.
Nie jest to sprzeczność: wykazaliśmy, że jedyny kandydat nie spełnia warunku istnienia wyrażenia. Podobne przykłady pojawiają się w zadaniach maturalnych o dziedzinie i przekształceniach.
- Rozłóż mianowniki, jeśli pomaga to zobaczyć ich zera.
- Zapisz wykluczenia jako osobny warunek.
- Mnożąc, uwzględnij każdy składnik po obu stronach.
- Sprawdź kandydatów w dziedzinie i w równaniu pierwotnym.
Ćwiczenia
A. 3/(x + 2) = 1. B. x/(x − 2) = 2. C. (x² − 4)/(x − 2) = 4.
W A: x ≠ −2, a 3 = x + 2 prowadzi do x = 1. W B: x ≠ 2 oraz x = 2x − 4, więc x = 4. W C: x ≠ 2, po skróceniu x + 2 = 4 dostajemy jedynie wykluczone x = 2; brak rozwiązań. Różnica między B i C nie polega na tym, że jeden zapis wygląda trudniej. Decyduje zgodność kandydata ze wszystkimi warunkami.
Nie rozdzielaj sumy w mianowniku
Wyrażenie 1/(x + 2) nie jest równe 1/x + 1/2. Dla x = 2 pierwsze wynosi 1/4, a drugie 1. To prosty kontrprzykład do błędnej reguły. Sumę wolno rozdzielać w liczniku przy wspólnym mianowniku, np. (x + 2)/3 = x/3 + 2/3.
W równaniu 2/x = 1/(x − 1) ograniczenia to x ≠ 0 i x ≠ 1. Mnożymy przez x(x − 1): 2(x − 1) = x. Stąd x = 2 i kontrola 1 = 1. Każda strona po usunięciu mianowników zachowuje brakujący czynnik. Pominięcie nawiasu w 2(x − 1) prowadziłoby do innego równania.