Jeden trójkąt można badać kilkoma metodami, ale nie każda jest równie krótka. Gdy dwa punkty mają tę samą drugą współrzędną, łatwo odczytać poziomą podstawę. Warto wykorzystać tę strukturę przed uruchomieniem ogólnych wzorów.
Ustaw dane na szkicu
Niech A = (−2, 1), B = (4, 1), C = (1, 5). Odcinek AB jest poziomy i ma długość 4 − (−2) = 6. Odległość C od prostej y = 1 wynosi 4. Pole trójkąta to 6·4/2 = 12 jednostek kwadratowych.
Nie odejmujemy długości boków, aby uzyskać wysokość. Tutaj decyduje pionowa odległość od C do prostej zawierającej podstawę. W innym ustawieniu ten skrót mógłby nie działać.
Dwa równe boki
AC ma długość √((1 + 2)² + (5 − 1)²) = √(9 + 16) = 5. Dla BC różnica pierwszych współrzędnych wynosi −3, a drugich 4, więc także dostajemy 5. Trójkąt jest równoramienny, o bokach 5, 5 i 6, obwód wynosi 16.
Rachunek korzysta z długości odcinka we współrzędnych i twierdzenia Pitagorasa. Znak różnicy znika po podniesieniu do kwadratu, lecz przy równaniu prostej nie wolno go tak po prostu pominąć.
Środek podstawy i prosta pionowa
Środek AB to D = ((−2 + 4)/2, (1 + 1)/2) = (1, 1). Odcinek CD jest pionowy, ma długość 4 i jest zarówno środkową, jak i wysokością. Jego prosta ma równanie x = 1, nie y = ax + b dla żadnego rzeczywistego a.
To ważny wyjątek przy równaniu kierunkowym prostej. Pionowej prostej nie opisujemy „bardzo dużym współczynnikiem”; jej pierwsza współrzędna jest stała.
Wysokość z innego wierzchołka
Prosta BC ma współczynnik (5 − 1)/(1 − 4) = −4/3. Prosta prostopadła do niej ma współczynnik 3/4. Wysokość z A spełnia y − 1 = (3/4)(x + 2). Przecinając ją z x = 1, dostajemy y = 13/4. Punkt przecięcia wysokości to H = (1, 13/4).
Sprawdź znak: iloczyn współczynników −4/3 i 3/4 wynosi −1. Przypomina to warunek prostopadłości prostych. Punkt H nie jest środkiem ciężkości; są to dwa różne punkty trójkąta.
- Wykorzystaj poziomą lub pionową podstawę, jeśli występuje.
- Przy długości podnoś do kwadratu całe różnice współrzędnych.
- Dla prostej pionowej stosuj zapis x = stała.
- Nie utożsamiaj środkowej z wysokością bez własności figury.
Sprawdź po przesunięciu
Przesuń każdy punkt o wektor (2, −1). Otrzymasz A′ = (0, 0), B′ = (6, 0), C′ = (3, 4). Długości i pole nie zmieniły się, bo różnice współrzędnych pozostały takie same. Nowy punkt przecięcia wysokości to H′ = (3, 9/4), czyli dokładnie H przesunięty o ten sam wektor.
Taka kontrola pozwala połączyć wzory z geometrią, zamiast traktować każdą literę jako oddzielny rachunek. Podobne obserwacje można zobaczyć na siatce punktów.