Ułamek opisuje część określonej całości. Jeśli dwie całości mają różne rozmiary, same zapisy „jedna druga” nie oznaczają jednakowych długości. Dlatego wszystkie paski w pierwszym modelu przygotuj jako kopie tego samego prostokąta.
Jedna całość ma 12 centymetrów
Narysuj kilka pasków długości 12 cm i takiej samej szerokości. Pierwszy zostaw jako całość. Drugi podziel na dwie części po 6 cm, trzeci na trzy po 4 cm, czwarty na cztery po 3 cm, a piąty na dwanaście po 1 cm. Podpisz części odpowiednio 1/2, 1/3, 1/4 i 1/12.
Centymetry są tutaj pomocą w budowie, nie mianownikiem ułamka. Mianownik mówi, na ile równych części podzielono całość. Przy pasku długości 24 cm jedna trzecia miałaby 8 cm, lecz nadal pozostawałaby jedną trzecią.
Dodawanie przez tę samą jednostkę
Połóż obok siebie część 1/3 oraz 1/4. Ich łączna długość wynosi 4 + 3 = 7 cm, czyli 7/12 całego paska. W zapisie 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 wspólny mianownik nazywa tę samą jednostkę: jedną dwunastą całości.
Nie dodajemy mianowników, ponieważ nie zmieniamy jednostki na „jedną siódmą”. Wynik 2/7 dawałby inną długość. Rachunki rozpisuje lekcja działań na ułamkach zwykłych.
Dzielenie jako pytanie „ile się mieści?”
Przygotuj odcinek 2/3 całości, czyli 8 cm, oraz jednostkę 1/6, czyli 2 cm. Ile takich jednostek mieści się w ośmiocentymetrowym odcinku? Cztery, więc (2/3):(1/6) = 4. Wynik jest liczbą jednostek, nie kolejną długością w centymetrach.
W innym przykładzie (1/2):(1/3) mamy 6 cm podzielone na jednostki po 4 cm. Mieści się półtorej takiej jednostki, więc wynik to 3/2. Dzielenie ułamków nie musi dawać liczby całkowitej.
Pytania zamiast samego układania
- Która całość jest punktem odniesienia dla każdej części?
- Ile najmniejszych równych części składa się na zaznaczony fragment?
- Czy wynik powinien być mniejszy od jednej całości czy większy?
- Czy pytamy o długość fragmentu, czy liczbę jednostek w innym fragmencie?
Model można przenieść na oś liczbową, gdzie ta sama część staje się odległością od zera. Warto wykonać oba zapisy, żeby uczeń nie utożsamiał ułamków wyłącznie z wyciętymi kawałkami.
Ograniczenia i ćwiczenie
Paski z podziałem na dwunaste nie pokażą dokładnie piątych. Nie oznacza to, że nie można dodać 1/3 i 1/5 — potrzebujesz innego podziału lub zapisu symbolicznego. Równość długości na niedokładnym rysunku także nie jest dowodem: decydują równe części z definicji i rachunek.
Spróbuj przedstawić 1/2 + 1/3 i 3/4 − 1/6. Wyniki to 5/6 oraz 7/12. W drugim przypadku 9/12 − 2/12 = 7/12. Jeśli uczeń poprawnie układa części, ale myli zapis, wykorzystaj pytania o znaczenie kolejnych kroków, zamiast od razu dokładać więcej podobnych przykładów.
Gdy ułamki na pasku są już czytelne, można porównać tę pomoc z płytkami algebraicznymi. Tam obszary prostokąta wyjaśniają mnożenie sum, ale model wymaga osobnego omówienia znaków ujemnych.