Trzeba podzielić 150 zł między dwie osoby w stosunku 2 : 3. To nie znaczy, że jedna dostaje 2 zł, a druga 3 zł. Pierwsza ma otrzymać dwie jednakowe części, druga trzy takie same części. Całość składa się więc z pięciu równych części. Ten obraz jest punktem wyjścia do podziału proporcjonalnego.
Stosunek opisuje części względem siebie
Przy stosunku 2 : 3 pierwsza wielkość stanowi 2/3 drugiej. Nie stanowi jednak 2/3 całej sumy. Całość to 2 + 3 = 5 części, dlatego pierwsza wielkość jest równa 2/5 całości, a druga 3/5 całości.
Pierwsza osoba: [część][część] Druga osoba: [część][część][część]
Każda „część” ma taką samą wartość. Gdyby prostokąty na rysunku miały różne wartości, nie przedstawiałyby tej samej jednostki udziału.
150 zł w stosunku 2 : 3
Najpierw dodajemy liczby stosunku: 2 + 3 = 5. Wartość jednej części to 150 zł : 5 = 30 zł. Następnie:
Pierwsza osoba: 2 · 30 zł = 60 zł.
Druga osoba: 3 · 30 zł = 90 zł.
Wykonujemy dwie kontrole. Po pierwsze, 60 zł + 90 zł = 150 zł, więc rozdysponowano całość. Po drugie, stosunek 60 : 90 skraca się do 2 : 3. Sama zgodna suma nie wystarcza: 50 zł i 100 zł też sumują się do 150 zł, ale tworzą inny stosunek.
Obliczenia części całości przypomina lekcja o ułamkach zwykłych. Nie musisz jednak zaczynać od działań na ułamkach, jeśli obraz jednakowych części jest dla ciebie wygodniejszy.
Ta sama metoda dla trzech udziałów
Podzielmy taśmę długości 180 cm w stosunku 1 : 2 : 3. Razem jest 6 części, więc każda ma 180 : 6 = 30 cm. Poszukiwane długości to 30 cm, 60 cm i 90 cm.
Sprawdzenie sumy daje 180 cm, a stosunek 30 : 60 : 90 po podzieleniu każdego składnika przez 30 wynosi 1 : 2 : 3. Nie dzielimy całej długości osobno przez 1, 2 i 3. Taki rachunek tworzyłby trzy niezależne części, które nie składałyby się na zadaną całość.
Jednostki muszą być zgodne
Mieszanka ma zawierać składniki A i B w stosunku mas 3 : 2 i ważyć łącznie 2,5 kg. Mamy 5 części, każda po 0,5 kg. Składnika A potrzeba 1,5 kg, a B — 1 kg.
Można też obliczyć wszystko w gramach: 2500 g : 5 = 500 g, potem 1500 g i 1000 g. Wynik jest ten sam. Nie można jednak interpretować jednej części jako 500 g, a drugiej jako 500 kg. W razie potrzeby przypomnij sobie zamianę jednostek masy.
Stosunek dwóch wielkości tego samego rodzaju odczytuj po sprowadzeniu ich do zgodnych jednostek. Długości 1 m i 50 cm tworzą stosunek 100 : 50 = 2 : 1, a nie 1 : 50.
Stosunek można zapisać na kilka równoważnych sposobów
Podział 2 : 3 jest taki sam jak 4 : 6. W drugim zapisie części jest dwa razy więcej, ale każda jest dwa razy mniejsza. Dla 150 zł mamy 150 : 10 = 15 zł na część, a udziały 4 · 15 = 60 zł i 6 · 15 = 90 zł.
Jeżeli liczby stosunku mają wspólny dzielnik, można je uprościć. Nie zmieniamy tylko jednego składnika. Przykładowo 6 : 9 po podzieleniu obu liczb przez 3 daje 2 : 3.
Podział proporcjonalny jest konkretnym zastosowaniem zależności. Szersze odróżnienie proporcjonalności prostej i odwrotnej omawia lekcja o modelach proporcjonalności.
Kiedy wynik ułamkowy wymaga uwagi?
Kwotę albo długość można w odpowiednich jednostkach dzielić na mniejsze części, ale całych osób czy nierozcinanych przedmiotów nie zawsze da się podzielić dokładnie w zadanym stosunku. Pięć identycznych, niepodzielnych nagród da się rozdzielić w stosunku 2 : 3, natomiast czterech takich nagród nie.
W drugim przypadku jedna część musiałaby odpowiadać 4/5 nagrody. Obliczenia są poprawne, lecz wynik nie spełnia warunku całych nagród. Nie zaokrąglaj udziałów bez sprawdzenia, czy po zaokrągleniu nadal zachowują stosunek.
Film z podziałem całości
„Stosunek dwóch wielkości tego samego rodzaju”, Pi-stacja / Katalyst Education, pokazuje, jak odczytać stosunek i rozdzielić całość na odpowiednią liczbę części. Przy przykładzie wskaż najpierw całość, a dopiero potem wartość jednej części.
Ćwiczenia
- Podziel 80 zł w stosunku 3 : 5.
- Podziel 210 cm w stosunku 2 : 5.
- Podziel 120 cukierków w stosunku 1 : 2 : 3.
- Czy 48 i 72 tworzą stosunek 2 : 3?
- Czy można rozdzielić 11 nierozcinanych batonów w stosunku 1 : 2?
Odpowiedzi
1. 30 zł i 50 zł. 2. 60 cm i 150 cm. 3. 20, 40 i 60 cukierków. 4. Tak. 5. Nie, jeżeli trzeba wykorzystać wszystkie batony i zachować je w całości.
W zadaniu 2 suma udziałów wynosi 7. Jedna część ma 210 : 7 = 30 cm. Dwa udziały dają 60 cm, pięć udziałów 150 cm. W zadaniu 5 suma udziałów wynosi 3, a 11 nie dzieli się przez 3 bez reszty.
Gdy chcesz zapisać metodę dla dowolnej całości, możesz użyć liter. Jak poprawnie pracować na takich zależnościach, pokazuje lekcja o przekształcaniu wzorów.