Przygotuj trzy czerwone i dwa niebieskie żetony, jednakowe poza kolorem. Wymieszaj je w nieprzezroczystym woreczku. Porównamy dwa losowania: po pierwszym zwracamy żeton albo zostawiamy go poza woreczkiem. Jedna zmiana zasad prowadzi do innego wyniku.
Przyjmij model
Zakładamy, że każdy z pięciu żetonów ma taką samą szansę wylosowania. Kolory nie są jednak jednakowo prawdopodobne: czerwony ma szansę 3/5, niebieski 2/5. Tę różnicę wyjaśnia klasyczne prawdopodobieństwo.
W praktyce kształt lub sposób mieszania może wyróżniać pewne żetony. Dlatego wynik doświadczenia porównujemy z modelem, zamiast uznawać każdą krótką serię za dowód dokładnej zgodności.
Dwa czerwone ze zwracaniem
Po pierwszym losowaniu żeton wraca, więc przed drugim znów są trzy czerwone z pięciu. Prawdopodobieństwo dwóch czerwonych wynosi (3/5)·(3/5) = 9/25, czyli 36%. Pierwszy czerwony nie zmienił składu drugiego losowania.
Bez zwracania po wylosowaniu czerwonego pozostają dwa czerwone wśród czterech żetonów. Teraz wynik to (3/5)·(2/4) = 3/10, czyli 30%. Nie wolno użyć drugi raz 3/5: pula została zmieniona.
Co najmniej jeden czerwony
Bez zwracania najwygodniej policzyć zdarzenie przeciwne: oba niebieskie. Jego szansa to (2/5)·(1/4) = 1/10. Zatem co najmniej jeden czerwony pojawi się z prawdopodobieństwem 1 − 1/10 = 9/10. „Co najmniej jeden” obejmuje jeden czerwony oraz dwa czerwone.
Dokładnie jeden czerwony to dwie kolejności: czerwony–niebieski oraz niebieski–czerwony. Suma (3/5)·(2/4) + (2/5)·(3/4) = 6/10. Dodanie wyniku dla dwóch czerwonych daje 6/10 + 3/10 = 9/10, zgodnie z poprzednim sposobem.
Zapis doświadczenia
- Przed każdą próbą przywróć pełny skład pięciu żetonów.
- W obrębie próby stosuj dokładnie wybraną zasadę zwracania.
- Notuj parę kolorów w kolejności, nie tylko ogólne wrażenie.
- Rozróżnij liczbę prób od liczby pojedynczych wyciągnięć.
Jeśli w 20 próbach dwa czerwone pojawiły się siedem razy, częstość wynosi 7/20 = 35%. Nie zmienia to teoretycznego wyniku 30% dla modelu bez zwracania. Mała seria może od niego odbiegać. Do uporządkowania wyników przyda się arkusz z tabelą częstości.
Jak samodzielnie uogólnić zadanie
Dla czterech czerwonych i dwóch niebieskich szansa dwóch czerwonych bez zwracania wynosi (4/6)·(3/5) = 2/5. Ze zwracaniem jest równa (4/6)² = 4/9. Najpierw zmień liczebności na szkicu drzewa, potem licz. Pełniejszy zapis kolejnych etapów przedstawia poradnik o drzewach prawdopodobieństwa.
Przy wielu osobach lub losowaniach łatwo pomylić szansę konkretnej pary z szansą dowolnej zgodności. Paradoks urodzin pokazuje ten problem na innym modelu i wyjaśnia, dlaczego samo mnożenie liczby par przez pojedynczą szansę nie kończy rachunku.