Z punktu nad prostą można narysować wiele odcinków dochodzących do tej prostej. Odcinki ukośne będą miały różne długości. Odległość punktu od prostej jest jednak jedną określoną liczbą: długością najkrótszego takiego odcinka. Gdy punkt nie leży na prostej, ten odcinek jest do niej prostopadły.
Najpierw znajdź punkt, prostą i kąt prosty
Oznaczmy punkt przez P, a prostą przez a. Prowadzimy przez P prostą prostopadłą do a. Jej przecięcie z a nazywamy H. Szukana odległość to długość PH. Punkt H bywa nazywany spodkiem prostopadłej.
P
●
│
│
a ───────●──────────
H
PH ⟂ a
Schemat nie jest wykonany w skali. Pionowe ustawienie PH w naszym rysunku jest wygodą, nie warunkiem definicji. Po obróceniu całej kartki odcinek nadal będzie prostopadły i nadal opisze tę samą odległość.
Jeżeli mylą się nazwy figur, zacznij od lekcji punkt, prosta, półprosta i odcinek. Mierzymy odcinek PH, a nie całą prostą przechodzącą przez P i H.
Dlaczego nie wybieramy odcinka ukośnego?
Wybierz inny punkt Q na prostej a. Odcinek PQ razem z PH i HQ tworzy trójkąt prostokątny, którego przeciwprostokątną jest PQ. Dla Q różnego od H przeciwprostokątna jest dłuższa od przyprostokątnej PH. Dlatego ukośna droga jest dłuższa.
Na pierwszym etapie możesz porównać kilka takich odcinków linijką. Później uzasadnisz różnicę dokładnie za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Jeśli PH = 3 cm i HQ = 4 cm, to PQ ma długość 5 cm. Odległość P od prostej nadal wynosi 3 cm, a nie 5 cm.
To przykład, w którym dane o dwóch odcinkach dochodzących do prostej nie są zamienne. O tym, który opisuje odległość, rozstrzyga położenie, zwłaszcza kąt prosty.
Jak narysować prostopadłą ekierką?
- Przyłóż jeden bok kąta prostego ekierki do prostej a.
- Przesuwaj ekierkę wzdłuż tej prostej, zachowując przyleganie boku.
- Ustaw drugi bok kąta prostego tak, aby przechodził przez P.
- Narysuj odcinek od P do przecięcia z prostą i oznacz punkt H.
- Zmierz PH linijką, zaczynając od kreski zero, nie od brzegu przyrządu.
Nie używaj do tego dowolnych dwóch boków ekierki. Potrzebne są właśnie boki tworzące kąt 90°. Rozpoznawanie i mierzenie takiego kąta przećwiczysz z kątomierzem.
Co, jeśli punkt leży na prostej?
Wtedy odległość wynosi 0. Nie rysujemy dodatkowej ukośnej kreski, aby otrzymać dodatnią długość. Odległość nie może być ujemna, a punkt należący do prostej nie jest od niej odsunięty.
Uważaj też na granice rysunku. Jeśli H wypada poza widocznym fragmentem kreski przedstawiającej prostą, możesz ją przedłużyć. Gdy zadanie dotyczy odcinka, a nie całej prostej, sytuacja może być inna. Nie zmieniaj jednego obiektu w drugi bez sprawdzenia polecenia.
Wysokość figury jest takim właśnie odcinkiem
Wysokość trójkąta opuszczona z wierzchołka jest prostopadła do prostej zawierającej przeciwległy bok. Spodek może wypaść na boku albo na jego przedłużeniu. Nie wybieramy po prostu najwygodniejszego boku ukośnego.
Na przykład trójkąt o podstawie 8 cm i wysokości 3 cm ma pole 8 · 3 : 2 = 12 cm². Jeżeli trzeba znaleźć wysokość z pola i podstawy, można użyć h = 2P/a. Wyprowadzanie takiej postaci opisuje lekcja o przekształcaniu wzorów.
Ten sam pomysł pojawia się przy prostych równoległych: ich odległość mierzymy prostopadle, a nie dowolnym ukośnym odcinkiem. W tej lekcji pozostajemy przy zadaniu z jednym punktem i jedną prostą.
Film z konstrukcją i pomiarem
„Odległość punktu od prostej”, Pi-stacja / Katalyst Education, pokazuje wybór najkrótszego odcinka. Zanim odczytasz długość, wskaż na ekranie miejsce kąta prostego.
Ćwiczenia
- PH jest prostopadły do prostej a, H leży na a i PH = 4,5 cm. Jaka jest odległość P od a?
- P leży na prostej b. Jaka jest jego odległość od b?
- PH ⟂ a, H i Q leżą na a, PH = 6 cm, HQ = 8 cm. Podaj odległość P od a; jeśli znasz twierdzenie Pitagorasa, oblicz też PQ.
- Czy po obróceniu kartki odległość punktu od prostej się zmieni?
- Trójkąt ma pole 20 cm² i podstawę 10 cm. Oblicz odpowiadającą jej wysokość.
Odpowiedzi
1. 4,5 cm. 2. 0. 3. Odległość wynosi 6 cm, a PQ = 10 cm. 4. Nie. 5. 4 cm.
W zadaniu 5 wysokość to 2 · 20 : 10 = 4 cm. Sprawdzenie pola daje 10 · 4 : 2 = 20 cm². Sam wynik 4 nie wystarczy do poprawnego rysunku — trzeba jeszcze zaznaczyć prostopadłość do wybranej podstawy.