We wzorze P = a · h pole jest już wyznaczone, ale zadanie może pytać o wysokość. Nie trzeba za każdym razem podstawiać liczb i zgadywać brakującej wartości. Można przekształcić wzór, czyli zapisać tę samą zależność tak, aby po jednej stronie została szukana litera.
Najpierw nazwij wielkości i działanie
W równoległoboku P oznacza pole, a — długość wybranej podstawy, h — wysokość odpowiadającą tej podstawie. Zapis P = a · h mówi o mnożeniu. Aby wyznaczyć h, trzeba odwrócić mnożenie przez a, czyli podzielić przez a obie strony:
P/a = h, a więc h = P/a, przy a ≠ 0.
Nie „przenosimy a pod kreskę” bez powodu. Wykonujemy dzielenie obu stron przez tę samą niezerową wielkość. Dla rzeczywistej podstawy figury a jest dodatnie, więc warunek jest spełniony.
Przykład z polem: najpierw wzór, potem liczby
Równoległobok ma pole 42 cm² i podstawę 7 cm. Z przekształconego wzoru otrzymujemy h = 42 : 7 = 6 cm. Kontrola: 7 cm · 6 cm = 42 cm².
Wysokość trzeba mierzyć prostopadle do prostej zawierającej podstawę. Nie można podstawić dowolnego boku zamiast h. Wyjaśnia to lekcja o odległości punktu od prostej, a zastosowanie w figurze — artykuł o polu równoległoboku.
Dodawanie odwracamy odejmowaniem
Zależność y = x + 7 przekształcamy przez odjęcie 7 od obu stron. Mamy y − 7 = x, czyli x = y − 7. Nie otrzymujemy x = y + 7: dodanie zamiast odjęcia zmieniłoby warunek.
Trochę dłuższy przykład to obwód prostokąta: O = 2a + 2b. Chcemy wyznaczyć b. Najpierw odejmujemy 2a: O − 2a = 2b. Następnie dzielimy obie strony przez 2:
b = (O − 2a)/2 = O/2 − a.
Nawias w pierwszej postaci jest ważny. Dzielimy całą różnicę O − 2a, a nie tylko ostatni składnik. Dla O = 30 cm i a = 9 cm otrzymujemy b = (30 − 18)/2 = 6 cm. Sprawdzenie daje 2 · 9 + 2 · 6 = 30.
Przy kilku działaniach cofaj je we właściwej kolejności
We wzorze y = 3x − 5 liczba x została najpierw pomnożona przez 3, a potem wynik zmniejszono o 5. Żeby ją odzyskać, dodajemy 5 do obu stron i dopiero potem dzielimy przez 3:
y + 5 = 3x, zatem x = (y + 5)/3.
Dla y = 16 otrzymujemy x = 7. Wstawienie do początkowego wzoru daje 3 · 7 − 5 = 16. Ta kontrola pomaga wykryć pominięty nawias albo niewłaściwy znak.
Zasada jest ta sama co w równaniach z jedną niewiadomą. Różnica polega na celu: teraz chcemy wzoru działającego dla różnych danych, a nie jednej odpowiedzi liczbowej.
Ułamek we wzorze: przykład trójkąta
Ze wzoru P = a · h/2 wyznaczmy a. Najpierw mnożymy obie strony przez 2, otrzymując 2P = a · h. Następnie dzielimy przez h:
a = 2P/h, przy h ≠ 0.
Dla P = 30 cm² i h = 5 cm wychodzi a = 60 : 5 = 12 cm. Nie należy otrzymywać P/(2h): to dzielenie przez 2 zamiast cofnięcia dzielenia. Kontrola 12 · 5 : 2 = 30 potwierdza wynik. Sam dobór podstawy i wysokości omawia pole trójkąta.
Gdy szukana litera jest w mianowniku
Prędkość opisuje zależność v = s/t, gdzie t ≠ 0. Mnożymy obie strony przez t: vt = s. Aby wyznaczyć czas, dzielimy przez v i otrzymujemy t = s/v, pod warunkiem v ≠ 0.
W modelu jednostajnej podróży na dodatniej drodze prędkość jest dodatnia. Dla s = 150 km i v = 60 km/h czas wynosi 2,5 h, czyli 2 h 30 min. Przeliczenie ułamka godziny wyjaśnia lekcja o jednostkach czasu.
Warunki dzielenia zapisuj wtedy, gdy są potrzebne. W dowolnym wzorze litera nie musi automatycznie oznaczać liczby dodatniej. Jeżeli dzielisz przez wielkość, która może być zerem, taki przypadek trzeba rozpatrzyć osobno.
Film: jedna zależność w różnych postaciach
„Przekształcenia wzorów”, Pi-stacja / Katalyst Education, uzupełnia kolejne kroki wykonywane po obu stronach równości. Przy zatrzymanym przykładzie nazwij działanie, które wykonujesz, zamiast zapamiętywać sam ruch litery.
Ćwiczenia
- Z y = x − 8 wyznacz x.
- Z P = a · b wyznacz b. Zapisz warunek.
- Z O = 2a + 2b wyznacz a.
- Z y = 4x + 3 wyznacz x i oblicz x dla y = 31.
- Z P = a · h/2 wyznacz h.
Odpowiedzi
1. x = y + 8. 2. b = P/a, a ≠ 0. 3. a = (O − 2b)/2. 4. x = (y − 3)/4; dla y = 31 mamy x = 7. 5. h = 2P/a, a ≠ 0.
W zadaniu 4 odejmujemy 3 od obu stron, a następnie dzielimy całą pozostałą stronę przez 4. Sprawdzenie: 4 · 7 + 3 = 31. W zadaniu 5 najpierw mnożymy wzór przez 2, potem dzielimy przez a — nigdy odwrotnie z pominięciem któregoś kroku.