Krótka kreska na kartce może przedstawiać odcinek, fragment prostej albo początek półprostej. Sam rozmiar rysunku nie wystarczy do rozpoznania obiektu. Trzeba wiedzieć, czy zaznaczono jego końce i czy w zadaniu zakładamy dalsze przedłużanie. Zacznijmy od punktu, czyli oznaczenia miejsca.
Punkt nie jest małym kółkiem o mierzalnej średnicy
Punkt geometryczny nie ma długości, szerokości ani grubości. Na rysunku stawiamy kropkę, aby wskazać jego położenie. Kropka ma rozmiar, bo inaczej nie byłoby jej widać, ale nie mierzymy tego rozmiaru jako własności punktu.
Punkty oznaczamy zwykle wielkimi literami, na przykład A, B i P. Literę zapisuj obok kropki, aby było jasne, którego miejsca dotyczy. Dwa różne punkty nie mogą zajmować dokładnie tego samego położenia.
Odcinek ma dwa końce
Odcinek AB to część prostej pomiędzy punktami A i B, razem z tymi punktami. Odcinek BA jest tym samym odcinkiem. Zmiana kolejności nazw końców nie zmienia zbioru jego punktów.
A ●────────● B
Odcinek ma długość. Jeśli AB = 5 cm, odległość od A do B wynosi pięć centymetrów. Na rysunku można to oznaczyć liczbą nad odcinkiem; nie trzeba zawsze rysować go w rzeczywistej skali. Gdy polecenie podaje długość, to ona jest daną, nawet jeśli schemat wygląda inaczej.
Przy mierzeniu linijką przyłóż kreskę oznaczającą zero do jednego końca. Nie zawsze jest ona na samym brzegu przyrządu. Jeśli końce wypadają przy 2 cm i 7 cm podziałki, długość odcinka wynosi 7 − 2 = 5 cm, a nie 7 cm.
Prosta biegnie bez końca w obie strony
Prosta nie ma początku ani końca. Nie da się narysować całej prostej na skończonej kartce, więc rysujemy tylko fragment. Możemy go przedłużać w obu kierunkach. Prostą oznaczamy małą literą, na przykład a, albo nazwami dwóch różnych leżących na niej punktów: prosta AB.
←────● A────● B────→
Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Jeżeli na tej samej prostej leży także C, nazwy AB i AC mogą wskazywać tę samą prostą. Nie oznacza to, że odcinki AB i AC muszą mieć tę samą długość.
Nie podajemy długości całej prostej jako liczby centymetrów. Możemy natomiast mierzyć odcinki na niej, na przykład odległość między A i B.
Półprosta ma początek, ale nie ma końca
Półprosta AB zaczyna się w A, przechodzi przez B i biegnie dalej w tym kierunku. Pierwsza litera nazwy oznacza początek. Dlatego półprosta BA jest inną półprostą: zaczyna się w B i biegnie przez A w przeciwną stronę.
A ●────────● B────→
Dwie półproste o wspólnym początku i przeciwnych kierunkach na tej samej prostej nazywamy przeciwnymi. Ich połączenie daje całą prostą. Taka para będzie potrzebna przy rozpoznawaniu kątów przyległych i wierzchołkowych.
Porównanie trzech obiektów
| Obiekt | Ograniczenie | Czy ma skończoną długość? |
|---|---|---|
| Odcinek | Dwa końce | Tak |
| Półprosta | Jeden początek, brak końca | Nie |
| Prosta | Brak początku i końca | Nie |
Strzałki na naszych schematach są pomocą w pokazaniu przedłużania. W podręczniku prosta może być narysowana także bez strzałek. Odczytaj jej oznaczenie i treść zadania, zamiast rozstrzygać wyłącznie po kształcie końca kreski. Powyższe schematy nie służą do pomiaru długości na ekranie.
W kolejnych zadaniach sprawdzisz odległość punktu od prostej. Przy kątach dwa ramiona są półprostymi; ich ustawienie będziemy badać za pomocą kątomierza.
Film o podstawowych obiektach
„Punkt, odcinek, prosta, półprosta”, Pi-stacja / Katalyst Education, pokazuje różnicę między rysunkiem a opisywaną figurą. Po obejrzeniu narysuj własny przykład każdego obiektu i podpisz go.
Ćwiczenia
- Czy odcinek AB jest tym samym odcinkiem co BA?
- Czy półprosta AB zawsze jest tą samą półprostą co BA, gdy A i B są różne?
- Końce odcinka leżą na linijce przy 3 cm i 8,5 cm. Jaka jest jego długość?
- Punkt C leży pomiędzy A i B. AC = 4 cm, CB = 7 cm. Oblicz AB.
- Ile prostych przechodzi przez dwa różne punkty?
Odpowiedzi
1. Tak. 2. Nie. 3. 5,5 cm. 4. 11 cm. 5. Dokładnie jedna.
W zadaniu 4 odcinki AC i CB składają się na AB, ponieważ C leży pomiędzy końcami. Dodajemy więc 4 + 7. Bez informacji o położeniu C samo podanie dwóch długości nie uzasadniałoby takiego dodawania.
Nie mieszaj tych podstaw z równaniami prostych: algebraiczne kryteria ich położenia znajdziesz później w artykule o prostych równoległych i prostopadłych.