Liczbę 4 500 000 można zapisać jako 4,5 · 106, a 0,00072 jako 7,2 · 10−4. Oba zapisy łatwiej objąć wzrokiem niż długi ciąg zer. Notacja wykładnicza nie zmienia wartości liczby — przedstawia ją jako iloczyn odpowiednio dobranego współczynnika i potęgi dziesiątki.
Warunek, który porządkuje zapis
Dodatnią liczbę zapisujemy w notacji wykładniczej w postaci a · 10k, gdzie 1 ≤ a < 10, a k jest liczbą całkowitą. Współczynnik ma więc jedną niezerową cyfrę przed przecinkiem. Dla liczby 5 można napisać 5 · 100, bo 100 = 1.
W tej lekcji ćwiczymy liczby dodatnie. Zero nie ma postaci spełniającej powyższy warunek współczynnika. Zapis 45 · 105 ma tę samą wartość co 4,5 · 106, ale nie spełnia warunku a < 10.
Przed dalszymi przykładami warto przypomnieć sobie potęgi i znaczenie wykładnika. Wykładnik nie jest liczbą zer, które zawsze mechanicznie dopisujemy; przy małych liczbach jest ujemny.
Duża liczba: wyznacz współczynnik i brakujący mnożnik
Dla 4 500 000 wybieramy współczynnik 4,5. Żeby z 4,5 otrzymać 4 500 000, trzeba pomnożyć przez milion, czyli 106. Zatem 4 500 000 = 4,5 · 106.
Inne przykłady: 83 000 = 8,3 · 104, 602 = 6,02 · 102, a 10 000 = 1 · 104. Liczymy przesunięcie przecinka potrzebne do uzyskania współczynnika, nie tylko zera na końcu. W 602 nie ma końcowych zer, a wykładnik nadal wynosi 2.
Dobrym sprawdzeniem jest zamiana z powrotem: 6,02 · 100 = 602. Jeśli po przemnożeniu odzyskasz inną liczbę, popraw wykładnik lub współczynnik.
Mała dodatnia liczba: potęga ujemna
Potęga 10−4 oznacza 1/10 000, czyli 0,0001. Wobec tego 7,2 · 10−4 to 7,2 podzielone przez 10 000, a więc 0,00072.
Dla 0,006 wybieramy 6 i mnożnik 10−3. Dla 0,45 otrzymujemy 4,5 · 10−1. Ujemny wykładnik nie czyni liczby ujemną: 4,5 · 10−1 jest dodatnie. To informacja o dzieleniu przez potęgę dziesiątki.
Przy przesuwaniu przecinka o cztery miejsca w prawo z 0,00072 do 7,2 zwiększyliśmy współczynnik 10 000 razy. Aby cały iloczyn zachował wartość, musimy to zrównoważyć mnożnikiem 10−4.
Poprawianie zapisu spoza ustalonego zakresu
Zapis 32 · 105 ma zbyt duży współczynnik. Zmniejszamy 32 dziesięć razy do 3,2 i zwiększamy drugi czynnik dziesięć razy: 3,2 · 106. Wartość iloczynu pozostaje taka sama.
Z kolei 0,48 · 10−2 zapisujemy jako 4,8 · 10−3. Współczynnik wzrósł dziesięć razy, a potęga dziesiątki zmalała dziesięć razy. Oba wyrażenia są równe 0,0048.
Takie równoważne zmiany przypominają ogólną zasadę przekształcania wzorów: wygląd zapisu może się zmieniać, ale trzeba zachować opisaną zależność.
Jak porównywać i zachować jednostkę?
Jeżeli oba dodatnie współczynniki mieszczą się w zakresie od 1 do mniej niż 10, najpierw porównaj wykładniki. Liczba 1,1 · 105 jest większa od 9,9 · 104. Przy równych wykładnikach decydują współczynniki: 6,4 · 10−3 jest większe od 5,8 · 10−3.
Notacja nie zmienia jednostek. Zapis 2,5 · 103 g oznacza 2500 g, czyli 2,5 kg. Nie wolno bez przeliczenia zamienić litery g na kg i pozostawić tego samego współczynnika oraz wykładnika. Pomaga tu lekcja o jednostkach masy.
Film o dużych liczbach
„Zapisywanie dużych liczb w notacji wykładniczej”, Pi-stacja / Katalyst Education, uzupełnia część o dodatnich wykładnikach. Po filmie wykonaj także przykłady z liczbami mniejszymi od 1 według wyjaśnienia powyżej.
Ćwiczenia
- Zapisz w notacji wykładniczej 7 200 000.
- Zapisz w tej postaci 0,000305.
- Zamień 4,08 · 103 na zwykły zapis.
- Uporządkuj zapis 56 · 10−4.
- Co jest większe: 9 · 10−3 czy 1 · 10−2?
Odpowiedzi
1. 7,2 · 106. 2. 3,05 · 10−4. 3. 4080. 4. 5,6 · 10−3. 5. 1 · 10−2.
W zadaniu 5 można wrócić do ułamków dziesiętnych: 0,009 < 0,01. W zadaniu 2 sprawdzenie daje 3,05 : 10 000 = 0,000305. Odpowiedź wymaga zachowania zera między 3 i 5 — nie usuwamy go podczas skracania zapisu.