Liczba 13 dzieli się bez reszty przez 1 i przez 13. Liczba 12 ma więcej możliwości: można ją podzielić przez 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Ta różnica pozwala odróżnić liczby pierwsze od złożonych. Liczba 1 pozostaje osobnym przypadkiem, bo ma tylko jeden dodatni dzielnik.
Najpierw ustalmy, co liczymy
Dzielnikiem dodatnim danej liczby naturalnej nazywamy dodatnią liczbę naturalną, przez którą można ją podzielić bez reszty. Szukając dzielników 12, możesz wypisać pary czynników:
12 = 1 · 12 = 2 · 6 = 3 · 4.
Z każdej pary bierzemy obie liczby. Otrzymujemy 1, 2, 3, 4, 6, 12. Dla liczby 16 występuje para 4 · 4, ale dzielnik 4 liczymy tylko raz. Liczymy różne wartości, nie wystąpienia na kartce.
W tej lekcji rozpatrujemy dodatnie dzielniki. Nie dopisujemy ich ujemnych odpowiedników ani nie próbujemy dzielić przez zero.
Liczba pierwsza ma dokładnie dwa dodatnie dzielniki
Liczba naturalna większa od 1 jest pierwsza, jeśli jej jedynymi dodatnimi dzielnikami są 1 i ona sama. Przykładami są 2, 3, 5, 7, 11 i 13. Liczba naturalna większa od 1 jest złożona, jeśli ma więcej niż dwa dodatnie dzielniki.
| Liczba | Dodatnie dzielniki | Wniosek |
|---|---|---|
| 2 | 1, 2 | Pierwsza |
| 9 | 1, 3, 9 | Złożona |
| 11 | 1, 11 | Pierwsza |
| 16 | 1, 2, 4, 8, 16 | Złożona |
| 1 | 1 | Ani pierwsza, ani złożona |
Słowo „pierwsza” nie oznacza tu miejsca w kolejce. Liczba 2 jest pierwsza, choć nie jest pierwszą liczbą podczas liczenia. Chodzi o rodzaj liczby określony przez dzielniki.
Dlaczego 1 nie jest liczbą pierwszą?
Dla 1 zwroty „dzieli się przez 1” i „dzieli się przez samą siebie” wskazują ten sam dzielnik. Nie powstają z nich dwie różne liczby. Jedynka nie spełnia zatem warunku dokładnie dwóch dodatnich dzielników.
Nie jest też złożona: nie jest większa od 1 i nie ma więcej niż dwóch dodatnich dzielników. Nie trzeba przypisywać każdej liczby naturalnej do jednej z tych dwóch grup. Zero również do nich nie należy.
To rozróżnienie pomaga przy rozkładaniu liczby na czynniki pierwsze. Dopisywanie jedynek nie tworzy nowych czynników pierwszych: 15 · 1 nadal wynosi 15, ale 1 nie jest składnikiem rozkładu na czynniki pierwsze.
Jak sprawdzać liczby, nie zgadując?
Dla małych liczb możesz szukać par czynników. W przypadku 21 znajdziesz 3 · 7, więc od razu wiesz, że liczba jest złożona. Nie musisz wypisywać wszystkich dzielników, aby to wykazać. Wystarczy jeden dzielnik różny od 1 i od badanej liczby.
Przy 29 sprawdź dzielniki 2, 3 i 5. Nie dzieli się przez żaden z nich. Dlaczego można na tym zakończyć? Gdyby 29 było iloczynem dwóch czynników większych od 1, przynajmniej jeden z nich byłby mniejszy od 6. Dwie liczby równe co najmniej 6 dałyby bowiem iloczyn co najmniej 36. Spośród możliwych czynników 2, 3, 4 i 5 liczbę 4 wyklucza już brak podzielności przez 2. Zatem 29 jest pierwsza.
Pomocne są cechy podzielności, ale ich znana lista nie wykrywa wszystkich liczb złożonych. Na przykład 49 nie dzieli się przez 2, 3 ani 5, a jednak 49 = 7 · 7. Brak podzielności przez kilka wybranych liczb nie jest automatycznie dowodem pierwszości.
Dwa częste nieporozumienia
- Nie każda liczba nieparzysta jest pierwsza. Liczby 9, 15 i 21 są nieparzyste, ale złożone.
- Nie każda liczba parzysta jest złożona. Wyjątkiem jest 2. Każda większa parzysta ma już dzielniki 1, 2 i samą siebie.
Pierwszość nie zależy od liczby cyfr. Dwucyfrowa liczba może być pierwsza, tak jak 11, albo złożona, tak jak 12. Oznaczenia innych zbiorów porządkuje przewodnik po rodzajach liczb.
Obejrzyj lekcję i porównaj przykłady
Film „Liczby pierwsze i liczby złożone”, Pi-stacja / Katalyst Education, uzupełnia rozróżnienie przez liczbę dzielników. Przy każdym przykładzie spróbuj najpierw samodzielnie uzasadnić odpowiedź.
Ćwiczenia
- Wybierz liczby pierwsze: 1, 2, 9, 17, 25, 31.
- Wypisz dodatnie dzielniki 18 i nazwij rodzaj tej liczby.
- Wyjaśnij, dlaczego 51 jest liczbą złożoną.
- Czy 49 jest pierwsza? Podaj argument.
- Podaj dwie różne liczby pierwsze, których iloczyn wynosi 22.
Odpowiedzi
1. 2, 17 i 31. 2. 1, 2, 3, 6, 9, 18; liczba złożona. 3. 51 = 3 · 17. 4. Nie, ponieważ 49 = 7 · 7. 5. 2 i 11.
Dla 31 wystarczy sprawdzić 2, 3 i 5: żadna nie dzieli 31. Gdyby oba czynniki były co najmniej równe 6, ich iloczyn byłby co najmniej 36. Tak samo jak przy 29 nie trzeba już szukać większych kandydatów na mniejszy czynnik.
W kolejnym kroku zamiast tylko rozpoznawać liczbę złożoną, rozpiszesz ją jako iloczyn samych liczb pierwszych. To przygotowanie do obliczania największego wspólnego dzielnika.