Drzewo porządkuje kolejne etapy doświadczenia. Nie jest jednak automatem do mnożenia dowolnych liczb: prawdopodobieństwo na drugiej gałęzi zależy od tego, co wydarzyło się wcześniej. Najłatwiej zobaczyć to przy losowaniu bez zwracania.
Model doświadczenia
W urnie znajdują się cztery czerwone i trzy niebieskie kule, jednakowe poza kolorem. Losujemy dwie kolejno, bez zwracania. Przyjmujemy równą szansę każdej kuli. Na pierwszym etapie czerwony ma prawdopodobieństwo 4/7, a niebieski 3/7.
Po pierwszej czerwonej zostają trzy czerwone i trzy niebieskie spośród sześciu. Po pierwszej niebieskiej zostają cztery czerwone i dwie niebieskie. Mianownik drugiego etapu to 6, nie 7. Wstęp do modelowania zawiera lekcja o wynikach sprzyjających.
Mnożymy wzdłuż gałęzi
Dwa czerwone: (4/7)·(3/6) = 2/7. Dwa niebieskie: (3/7)·(2/6) = 1/7. Czerwony potem niebieski: (4/7)·(3/6) = 2/7. Niebieski potem czerwony: (3/7)·(4/6) = 2/7.
To cztery rozłączne przebiegi obejmujące wszystkie możliwości kolorów. Ich prawdopodobieństwa sumują się do 1. Zgodność sumy jest dobrą kontrolą, choć sama nie dowodzi, że każda liczba na drzewie została dobrze wyliczona.
Dodajemy różne drogi do zdarzenia
Dokładnie jedna czerwona kula oznacza dwie kolejności: CN albo NC. Dodajemy 2/7 + 2/7 = 4/7. Co najmniej jedna czerwona oznacza wszystko oprócz NN, więc wynik to 1 − 1/7 = 6/7. Ten sam wynik daje CC + CN + NC.
Nie dodawaj „pierwsza czerwona” i „druga czerwona” bez uwzględnienia części wspólnej: przypadek CC zostałby policzony dwa razy. Drzewo pomaga podzielić zdarzenie na rozłączne pełne przebiegi.
Inna kontrola: wybór pary
Wszystkich nieuporządkowanych par z siedmiu kul jest C(7, 2) = 21. Dwie czerwone można wybrać na C(4, 2) = 6 sposobów, więc 6/21 = 2/7. Para mieszana powstaje na 4·3 = 12 sposobów, czyli 12/21 = 4/7. Metodę wyjaśniają kombinacje i reguła mnożenia.
Obie drogi są zgodne, bo opisują ten sam model i w każdej poprawnie uwzględniono równość szans. Nie wolno mieszać licznika uporządkowanego z mianownikiem nieuporządkowanym.
- Przy każdym węźle podpisz aktualny skład urny.
- Sprawdź, czy szanse wychodzących gałęzi sumują się do 1.
- Mnożenie dotyczy kolejnych etapów jednego przebiegu.
- Dodawanie dotyczy rozłącznych dróg prowadzących do zdarzenia.
Porównanie ze zwracaniem
Ze zwracaniem szansa dwóch czerwonych to (4/7)² = 16/49. Bez zwracania wynosi 2/7 = 14/49. Różnica bierze się ze zmiany puli po pierwszej czerwonej. Własną serię prób możesz przeprowadzić z żetonami w woreczku, pamiętając, że częstość w małej próbie nie musi równać się wartości teoretycznej.