Jak ułożyć równanie do zadania tekstowego?

W zadaniu tekstowym najtrudniejsze bywa nie obliczenie wyniku, lecz zapisanie właściwego równania. Trzeba ustalić, co oznacza niewiadoma, opisać pozostałe wielkości i znaleźć zależność, która je łączy. Na przykładach zakupów, wieku i prostokąta pokażemy, jak przejść od zdania do równania oraz sprawdzić, czy otrzymana liczba rzeczywiście odpowiada na pytanie.

Najpierw ustal, czego szukasz

Przeczytaj całą treść, zanim zaczniesz liczyć. Wypisz dane wraz z jednostkami i zaznacz pytanie. Jeżeli zadanie dotyczy ceny zeszytu, niech x oznacza cenę jednego zeszytu w złotych. Zapis „x — zeszyt” jest nieprecyzyjny: niewiadoma oznacza liczbę opisującą wielkość, a nie przedmiot.

W prostych zadaniach wystarczy jedna niewiadoma nawet wtedy, gdy szukasz dwóch wartości. Jeśli jeden odcinek jest o 4 cm dłuższy od drugiego, krótszy możesz oznaczyć przez x, a dłuższy przez . Nie musisz wprowadzać drugiej litery. Ten sposób zapisu korzysta z wyrażeń algebraicznych, które opisują wielkości zależne od wybranej niewiadomej.

Od razu określ również dopuszczalne wartości. Liczba zakupionych zeszytów musi być całkowita i nieujemna, a długość boku dodatnia. Cena może zawierać część ułamkową. Takie ograniczenia wynikają z treści, nie z samego równania. Dzięki nim później rozpoznasz wynik, który daje poprawne rachunki, ale nie pasuje do sytuacji.

Jak zamienić zależności słowne na wyrażenia?

Podobnie brzmiące zwroty mogą oznaczać inne działania. „O 3 więcej” opisuje dodawanie, a „trzy razy tyle” mnożenie. Nie wybieraj działania na podstawie jednej wyrwanej frazy. Sprawdź, której wielkości dotyczy porównanie i która jest punktem odniesienia.

Opis zależności	Zapis przy wielkości x	Co oznacza?
O 3 więcej		Dodajemy 3 do wartości x.
O 3 mniej		Od wartości x odejmujemy 3.
Trzy razy tyle		Bierzemy trzykrotność x.
Połowa wartości		Dzielimy x przez 2.
O 3 więcej niż podwojona wartość		Najpierw podwajamy x, potem dodajemy 3.

Nawias pozwala odróżnić kolejność działań. Podwojenie liczby zwiększonej wcześniej o 3 to , a nie . Dla x równego 5 pierwsze wyrażenie ma wartość 16, drugie 13. Taka próba z prostą liczbą pomaga wykryć błędny zapis jeszcze przed układaniem równania.

Równanie powstaje dopiero wtedy, gdy wskażesz dwie równe wielkości: sumę kosztów i kwotę zapłaty, sumę długości i obwód albo dwie wartości tego samego wieku. Samo wyrażenie nie zawiera jeszcze informacji, ile wynosi opisany koszt.

Lekcja Pi-stacji / Katalyst Education pokazuje wybór niewiadomej, zapis zależności i sprawdzenie odpowiedzi na przykładach zadania o wycieczce oraz liczbie zwierząt.

Zakupy: od ceny jednostkowej do całego rachunku

Przykład hipotetyczny: trzy jednakowe zeszyty i długopis za 6 zł kosztowały razem 27 zł. Ile kosztował jeden zeszyt? Niech x oznacza jego cenę w złotych. Trzy zeszyty kosztują 3x zł, a cały zakup 3x + 6 zł. Ten koszt ma być równy 27 zł, więc zapisujemy:

Po odjęciu 6 od obu stron otrzymujemy , a po podzieleniu przez 3: . Sprawdzamy treść: trzy zeszyty po 7 zł kosztują 21 zł; po doliczeniu długopisu otrzymujemy 27 zł. Odpowiedź brzmi: jeden zeszyt kosztował 7 zł. Sama liczba 7 nie mówi jeszcze, co wyznaczyliśmy.

Uważaj na rozróżnienie liczby przedmiotów i ich ceny. Gdy pytanie dotyczy liczby zeszytów, x powinno oznaczać ich liczbę, a znana cena będzie współczynnikiem przy x. W tym przykładzie jest odwrotnie: liczba zeszytów jest podana, a cenę trzeba znaleźć. Nie dopisuj wszystkich liczb z treści do jednego działania tylko dlatego, że występują w zadaniu.

Jeśli zapis zależności jest poprawny, ale przekształcenia sprawiają trudność, przećwicz rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą. Tutaj najważniejsze pozostaje uzasadnienie, dlaczego lewa i prawa strona równania opisują tę samą kwotę.

Wiek: wszystkie osoby muszą być w tym samym momencie

Przykład hipotetyczny: siostra jest o 6 lat starsza od brata. Za 4 lata będzie miała dwa razy tyle lat co brat. Ile lat ma obecnie brat? Przyjmujemy, że x oznacza jego obecny wiek w latach. Obecny wiek siostry to x + 6, za 4 lata brat będzie miał x + 4, a siostra x + 10.

Porównanie „dwa razy tyle” dotyczy ich wieku za 4 lata. Otrzymujemy zatem:

Usuwamy nawias: . Odejmujemy x i 8 od obu stron, co daje . Brat ma teraz 2 lata, a siostra 8. Za 4 lata będą mieli 6 i 12 lat: 12 jest dwa razy większe od 6, a różnica wieku nadal wynosi 6 lat.

Błędne równanie porównywałoby obecny wiek siostry z przyszłym wiekiem brata. Każde wyrażenie jest osobno zrozumiałe, ale zestawienie ich znakiem równości nie oddaje warunku zadania. Przy takich przykładach podpisz obok wyrażeń „teraz” i „za 4 lata”; sprawdzisz wtedy, czy nie mieszasz dwóch momentów.

Prostokąt: opisz boki, zanim zapiszesz obwód

Przykład hipotetyczny: prostokąt ma obwód 38 cm, a dłuższy bok jest o 5 cm dłuższy od krótszego. Oznacz krótszy bok przez x, mierząc długości w centymetrach. Dłuższy bok ma więc x + 5. Obwód obejmuje dwa krótsze i dwa dłuższe boki:

Po usunięciu nawiasu dostajemy , czyli i . Dłuższy bok ma 12 cm. Kontrola daje ; oba boki są dodatnie, a różnica ich długości wynosi 5 cm. Możesz też zapisać równoważne równanie , ponieważ połowa obwodu jest sumą długości dwóch sąsiednich boków.

Rysunek nie musi być wykonany w skali. Wystarczy podpisać dwie pary boków i nie pomylić obwodu z polem. Iloczyn opisywałby pole, więc nie można go przyrównać do 38 cm. Jednostki pomagają wykryć ten błąd: pole mierzymy w jednostkach kwadratowych, a obwód w jednostkach długości.

Sprawdź model, wynik i odpowiedź

Podstawienie wyniku do równania potwierdza rachunki, ale nie gwarantuje, że równanie dobrze opisuje treść. Wróć więc do wszystkich warunków zadania i sprawdź je osobno. Jeśli szukasz dwóch wielkości, wylicz obie, nawet gdy x oznacza tylko jedną z nich.

1. Przeczytaj definicję x i upewnij się, że nie zmieniła się podczas obliczeń.
2. Podstaw wynik do początkowego równania, a nie tylko do ostatniej linijki.
3. Sprawdź sumę, różnicę lub stosunek podany w treści.
4. Oceń jednostkę oraz ograniczenia: długość jest dodatnia, a liczba przedmiotów całkowita.
5. Napisz zdanie odpowiadające dokładnie na pytanie.

Do samodzielnej próby: suma dwóch liczb wynosi 31, a większa jest o 7 większa od mniejszej. Przyjmując x jako mniejszą liczbę, zapisz . Otrzymasz 12 i 19. Sprawdzenie musi objąć zarówno sumę 31, jak i różnicę 7. Przy następnym zadaniu zacznij od jednego zdania wyjaśniającego znaczenie niewiadomej; dopiero potem wybieraj działania i znak równości.