W zadaniu optymalizacyjnym najpierw budujemy funkcję opisującą szukaną wielkość. Dopiero później szukamy maksimum lub minimum. Wierzchołek paraboli nie jest automatycznie rozwiązaniem problemu, jeśli jego argument nie należy do dopuszczalnego zakresu.
Trzy boki ogrodzenia
Do ściany budynku przylega jeden bok prostokątnego obszaru. Pozostałe trzy boki mają być ogrodzone 40 m siatki. Oznacz szerokość prostopadłą do ściany przez x, a bok równoległy przez y. Warunek ma postać 2x + y = 40, więc y = 40 − 2x.
Pole to P = xy = x(40 − 2x) = −2x² + 40x. Długości muszą być dodatnie: x > 0 i 40 − 2x > 0, czyli 0 < x < 20. Końce dawałyby zdegenerowany prostokąt.
Maksimum i uzasadnienie
Zapisujemy P(x) = −2(x − 10)² + 200. Kwadrat jest nieujemny, więc −2(x − 10)² ≤ 0. Największa wartość pola to 200 m², osiągana przy x = 10 m. Wtedy y = 20 m, a 2·10 + 20 = 40 potwierdza zużycie siatki.
To argument obejmujący cały dopuszczalny przedział. Sprawdzenie x = 8, 9, 10, 11 nie wystarczyłoby do dowodu, że żadna inna liczba rzeczywista nie daje większego pola. Pomaga postać kanoniczna funkcji kwadratowej.
Dodatkowe ograniczenie zmienia odpowiedź
Załóżmy, że szerokość x nie może przekroczyć 8 m. Wtedy dopuszczalne jest 0 < x ≤ 8. Argument wierzchołka 10 odpada. Ponieważ w tym zakresie odległość x od 10 maleje, P(x) rośnie. Maksimum osiągamy przy x = 8, y = 24; pole wynosi 192 m².
Można to sprawdzić z postaci kanonicznej: najmniejszy kwadrat (x − 10)² w rozpatrywanym przedziale to 4. Stąd P ≤ 200 − 8 = 192. Nie wystarczy zawsze wpisać współrzędnych wierzchołka bez analizy dziedziny modelu.
Nie pomyl długości ogrodzenia z obwodem
W zadaniu używamy tylko trzech boków. Gdyby ogrodzenie obejmowało wszystkie cztery, warunek brzmiałby 2x + 2y = 40 i wyniki byłyby inne. Dla pełnego obwodu maksimum pola daje kwadrat 10 × 10 o polu 100 m². Rysunek ma więc znaczenie przed rachunkiem.
- Nazwij niewiadomą wraz z jednostką.
- Zapisz ograniczenie i wyeliminuj drugą zmienną.
- Wyznacz dziedzinę wynikającą z treści.
- Uzasadnij ekstremum i sprawdź je w początkowych warunkach.
Próba z innymi danymi
Dla 60 m siatki na trzy boki P(x) = −2x² + 60x = −2(x − 15)² + 450. Najlepsze wymiary to x = 15 m i y = 30 m, pole 450 m². Siatki jest 1,5 raza więcej niż poprzednio, a maksymalne pole rośnie 2,25 raza: 450/200 = 2,25. Związek z kwadratem skali długości stanowi dodatkową kontrolę.
Jeśli wolisz najpierw zobaczyć przebieg, użyj szkicu paraboli, ale traktuj go jako wsparcie argumentu, nie zamiennik dokładnego uzasadnienia.