Sprawdzenie dziesięciu przykładów nie dowodzi zdania o wszystkich liczbach. Jeden kontrprzykład może natomiast takie zdanie obalić. Z kolei dowód nie wprost zaczyna się od przeciwnego założenia i pokazuje, że prowadzi ono do sprzeczności. Te narzędzia odpowiadają na różne pytania.
Konstrukcja dowodu nie wprost
Chcemy wykazać, że pewna sytuacja nie zachodzi. Zakładamy, że jednak zachodzi, konsekwentnie korzystamy z tego założenia i dochodzimy do dwóch niezgodnych informacji. Trzeba wskazać dokładnie, co jest sprzeczne — samo zdanie „to niemożliwe” nie kończy argumentu.
Przykład: jeśli n² jest parzyste, to n jest parzyste. Załóżmy przeciwnie, że n jest nieparzyste, więc n = 2k + 1. Wtedy n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1 jest nieparzyste. To przeczy założeniu o parzystości kwadratu. Zatem n nie może być nieparzyste.
Dlaczego pierwiastek z 2 jest niewymierny
Załóżmy, że √2 = a/b dla dodatnich liczb całkowitych a, b bez wspólnego dzielnika większego od 1. Po podniesieniu do kwadratu mamy a² = 2b². Liczba a² jest parzysta, więc na podstawie poprzedniego argumentu a też jest parzyste: a = 2k.
Podstawiamy 4k² = 2b², czyli b² = 2k². Stąd b również jest parzyste. Otrzymaliśmy, że a i b mają wspólny dzielnik 2, choć wybraliśmy ułamek nieskracalny. Sprzeczność wyklucza przyjęty zapis √2 jako ułamka.
To miejsce, w którym nie wolno pominąć nieskracalności. Dwie parzyste liczby same w sobie nie są niczym niemożliwym; sprzeczne są dopiero z konkretnym założeniem o braku wspólnego dzielnika. Zobacz działania na pierwiastkach oraz argumenty o parzystości.
Kontrprzykład obala zdanie ogólne
Zdanie „n² + n + 41 jest pierwsze dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n” może wydawać się wiarygodne po sprawdzeniu 0, 1 i 2: daje 41, 43, 47. Dla n = 40 otrzymujemy jednak 1600 + 40 + 41 = 1681 = 41². Jedna wartość wystarcza do obalenia słowa „każdej”. Nie trzeba sprawdzać wszystkich pozostałych n.
Osobny poradnik o przykładzie, kontrprzykładzie i dowodzie rozwija ten sposób czytania twierdzeń w szkolnych zadaniach.
- Zapisz, co masz wykazać i dla jakich liczb.
- W dowodzie nie wprost nazwij przeciwne założenie.
- Nie używaj wniosku, który dopiero próbujesz udowodnić.
- Na końcu wskaż konkretną sprzeczność lub konkretny kontrprzykład.
Spróbuj sam
Wykaż, że wśród pięciu liczb rzeczywistych o sumie 50 jest liczba co najmniej 10. Załóż, że wszystkie są mniejsze od 10. Ich suma byłaby mniejsza od 50 — sprzeczność. Ten sam argument wiąże się z wyborem elementu skrajnego. Nie dowodzi, że któraś liczba musi być dokładnie 10: zestaw 8, 8, 8, 8, 18 pokazuje różnicę.
Nie każda teza wymaga zaprzeczania. Dowody algebraiczne przez rozkład i nieujemny kwadrat pokazują, kiedy bezpośrednie przekształcenie jest krótsze i od razu ujawnia warunek równości.