Wartość bezwzględna – odległość na osi liczbowej i proste równania

Wartość bezwzględna opisuje odległość na osi liczbowej. Dzięki temu zapis można odczytać jako pytanie: które liczby leżą pięć jednostek od liczby 3? Zamiast usuwać pionowe kreski na podstawie domysłu, najpierw ustal punkt odniesienia i odległość. Poniżej przejdziesz od obliczania modułu liczby do prostych równań, sprawdzisz liczbę rozwiązań i przećwiczysz zapis z ujemnym punktem odniesienia.

Co oznaczają kreski wartości bezwzględnej?

Wartość bezwzględną liczby x zapisujemy jako i nazywamy także modułem. Jest to odległość tej liczby od zera. Na osi liczby 6 i −6 leżą po przeciwnych stronach zera, lecz każda jest od niego oddalona o sześć jednostek. Dlatego oraz . Samo zero znajduje się w punkcie odniesienia, więc .

Odległość nie może być ujemna. Moduł jest zatem zawsze nieujemny: dodatni albo równy zeru. To rozróżnienie ma znaczenie, ponieważ stwierdzenie „wartość bezwzględna jest zawsze dodatnia” pomija właśnie zero. Kreski działają również dla ułamków i liczb niewymiernych; na przykład .

Reguła algebraiczna brzmi: dla x większego lub równego zeru moduł jest równy x, a dla x mniejszego od zera jest równy −x. Znak minus w drugim przypadku oznacza liczbę przeciwną, niekoniecznie ujemny wynik. Jeśli x = −6, to −x = 6. Przypomnienie podziału liczb i podstawowych działań znajdziesz w dziale liczby i działania na liczbach.

Nie traktuj kresek jak zwykłego nawiasu. W wyrażeniu najpierw wykonujesz odejmowanie wewnątrz, otrzymujesz −5, a dopiero potem wyznaczasz moduł, równy 5. Nie możesz po prostu skreślić kresek i zostawić −5.

Odległość od innej liczby: jak odczytać |x − a|?

Odległość między liczbami x oraz a opisuje . Najpierw obliczasz różnicę współrzędnych, a następnie jej moduł. Kolejność tych liczb nie zmienia odległości: od 8 do 3 jest tyle samo jednostek co od 3 do 8. W obu przypadkach wynik wynosi 5, ponieważ oraz .

W zapisie punktem odniesienia jest 3. W zapisie punktem odniesienia jest −3, ponieważ dodawanie 3 można zapisać jako odejmowanie liczby −3. Ten szczegół pozwala uniknąć częstego błędu: znak wewnątrz modułu odczytujemy przez postać „x minus punkt odniesienia”.

Przykład obliczeniowy: odległość liczby −8 od liczby −3 wynosi pięć jednostek. Różnica to , a jej moduł wynosi 5. Tak samo otrzymasz 5, odejmując −8 od −3. Minus przy współrzędnej wskazuje położenie na osi, natomiast odległość pozostaje nieujemna.

Porównaj też z . Pierwsze wyrażenie mierzy odległość od 3. W drugim najpierw mierzysz odległość od zera, a dopiero potem odejmujesz 3. Dla x = −2 otrzymasz odpowiednio 5 oraz −1. Odejmowanie wykonane poza modułem może więc dać wynik ujemny. O tym, które działanie wykonuje się najpierw, decydują granice kresek oraz kolejność wykonywania działań.

Lekcja Pi-stacji / Katalyst Education pokazuje wartość bezwzględną jako odległość od zera oraz obliczenia dla liczb dodatnich, ujemnych i zera.

Równanie |x − a| = b: dwa, jedno lub zero rozwiązań

Równanie pyta o liczby oddalone od a dokładnie o b jednostek. Przyjmujemy, że a i b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Zanim wykonasz przekształcenia, sprawdź znak b. Dodatnia odległość prowadzi do dwóch różnych punktów, odległość zerowa do jednego, a ujemna nie jest możliwa.

Rozwiążmy . Od 3 przesuwamy się o pięć jednostek w lewo i w prawo. Dostajemy −2 oraz 8. Algebraicznie zapisujemy dwa przypadki: lub . Z pierwszego wynika x = 8, z drugiego x = −2. Słowo „lub” oznacza, że wystarczy spełnić jeden z tych dwóch przypadków.

Nie wpisuj jako odpowiedzi wszystkich liczb między −2 a 8. Równanie wymaga odległości dokładnie pięć, więc spełniają je tylko końcowe punkty. Liczba 3 leży w środku tego odcinka, ale jej odległość od 3 wynosi zero. Dla to właśnie ona jest jedyną odpowiedzią. Równanie nie ma rozwiązań, niezależnie od położenia x.

Przekształcenia przed rozdzieleniem na dwa przypadki

Gdy poza modułem występuje dodatkowe działanie, najpierw doprowadź równanie do postaci, w której po jednej stronie pozostaje sam moduł. Dopiero potem oceń znak drugiej strony. Rozważ przykład:

Dodajemy 3 do obu stron i otrzymujemy . Następnie dzielimy obie strony przez 2, więc . Punkt odniesienia to −4, a odległość wynosi 5. Liczby szukane na osi to −9 oraz 1.

Możemy też zapisać lub . W pierwszym przypadku x = 1, w drugim x = −9. Te dwa proste równania rozwiązujemy zgodnie z zasadami przekształcania równań liniowych. Kreski znikają dopiero po uwzględnieniu obu możliwości.

Sprawdźmy wynik w pierwotnym równaniu. Dla x = 1 lewa strona to . Dla x = −9 otrzymujemy . Obie liczby spełniają równanie. Sprawdzenie w wersji początkowej chroni przed błędem popełnionym przy dodawaniu albo dzieleniu.

W równaniu odejmujemy 4 i dostajemy . Na tym kończymy: brak rozwiązań. Nie rozpisujemy przypadków z odległością −2. Z kolei prowadzi do , więc jedynym rozwiązaniem jest x = −2.

Ćwiczenia i kontrola własnego zapisu

W każdym zadaniu zapisz najpierw słowny opis odległości. Później wyznacz wszystkie liczby spełniające warunek i sprawdź je przez podstawienie. Poniższe ćwiczenia są autorskimi przykładami obliczeniowymi; nie opisują pomiarów ani rzeczywistych zdarzeń.

1. Oblicz i .
2. Rozwiąż .
3. Rozwiąż .
4. Rozwiąż .
5. Rozwiąż .
6. Rozwiąż .

Odpowiedzi: w pierwszym zadaniu otrzymujemy 12 oraz 4. W drugim szukane liczby to 4 i 10, w trzecim −7 i −3. Czwarte ma jedną odpowiedź: 9. Piąte nie ma rozwiązań. W szóstym po odjęciu 6 i podzieleniu przez 2 dostajemy , czyli x = −2 lub x = 4.

Jeżeli otrzymujesz tylko jedną liczbę przy dodatniej odległości w równaniu tej postaci, sprawdź, czy uwzględniono obie strony punktu odniesienia. Jeżeli odpowiedź ma być ujemna, nie odrzucaj jej tylko z powodu znaku: nieujemna ma być odległość, a nie współrzędna x. Przy kolejnym zadaniu zaznacz na osi punkt odniesienia, sprawdź odległość po wyodrębnieniu modułu i dopiero wtedy zapisz odpowiedź.