W zadaniu na dowodzenie nie wybieramy kilku liczb, żeby potwierdzić tezę. Szukamy zapisu, który ujawnia strukturę dla wszystkich dopuszczalnych wartości. Często wystarczają wyłączenie czynnika, rozkład różnicy kwadratów lub nieujemność kwadratu.
Iloczyn kolejnych liczb
Wyrażenie n² + n dla całkowitego n zapisujemy jako n(n + 1). Jedna z dwóch kolejnych liczb jest parzysta, więc iloczyn jest podzielny przez 2. To dowód również dla n ujemnych, nie tylko dla dodatnich przykładów.
Nie wnioskuj od razu o podzielności przez 4: n = 1 daje 2. Ten kontrprzykład pokazuje, dlaczego zakres wniosku trzeba uzasadnić osobno. Rozwijanie i wyłączanie czynnika omawiają wyrażenia algebraiczne.
Kwadrat nieparzystej liczby minus jeden
Niech n będzie nieparzyste. Zapisz n = 2k + 1 dla całkowitego k. Wtedy n² − 1 = 4k² + 4k = 4k(k + 1). Jeden z czynników k, k + 1 jest parzysty, więc cały iloczyn jest podzielny przez 8.
Można też zacząć od (n − 1)(n + 1). Oba czynniki są parzyste, a jeden z nich jest podzielny przez 4, bo różnią się o 2. Wymaga to wyjaśnienia; samo „dwa parzyste” gwarantowałoby czynnik 4, jeszcze nie 8. Powiązanie z resztami modulo 4 i 8 daje drugi sposób patrzenia.
Nierówność z nieujemności kwadratu
Dla rzeczywistych a, b mamy (a − b)² ≥ 0. Po rozwinięciu a² − 2ab + b² ≥ 0, więc a² + b² ≥ 2ab. Równoważnie (a + b)² ≥ 4ab. Równość zachodzi dokładnie, gdy a = b.
To nie jest przybliżenie. Wzór skróconego mnożenia zamienia ocenę znaku w prosty warunek równości. Dla a = 3, b = 5 otrzymujemy 34 ≥ 30, ale przykład jedynie ilustruje dowód.
Ułamek wymaga dziedziny
Dla x > 0 z (x − 1)² ≥ 0 wynika x² + 1 ≥ 2x. Dzieląc przez dodatnie x, otrzymujemy x + 1/x ≥ 2. Równość zachodzi przy x = 1. Dodatniość jest konieczna dla tego kierunku dzielenia; dla x = −1 lewa strona wynosi −2 i nie spełnia tezy.
Przy x = 0 wyrażenie nie istnieje. Ten przykład łączy dowód z warunkami przed przekształceniami. Nie wolno wprowadzać działania na niewiadomej bez sprawdzenia, jaki ma znak i czy jest niezerowa.
- Nazwij zbiór liczb i wszystkie założenia.
- Szukaj postaci pokazującej dzielnik lub nieujemny składnik.
- Uzasadnij każdy dodatkowy czynnik w podzielności.
- W nierówności sprawdź warunek równości.
Ćwiczenie: wykaż dla rzeczywistych x, że x² + 6x + 10 ≥ 1. Po zapisaniu (x + 3)² + 1 ≥ 1 teza jest widoczna; równość występuje przy x = −3. Jest to także proste zadanie o minimum funkcji, rozwijane w optymalizacji funkcją kwadratową.