W zadaniu z wieloma elementami czasem pomaga spojrzenie na jeden szczególny: największy, najmniejszy, najbliższy lub najbardziej oddalony. Trzeba jednak wiedzieć, że taki element istnieje. W niepustym skończonym zbiorze liczb możemy wybrać minimum i maksimum; w dowolnym zbiorze nieskończonym nie zawsze.
Największa liczba ogranicza pozostałe
Niech dziesięć liczb rzeczywistych ma sumę 170. Co najmniej jedna jest nie mniejsza niż 17. Gdyby wszystkie były mniejsze od 17, ich suma byłaby mniejsza od 170. Analogicznie co najmniej jedna jest nie większa niż 17.
Nie wynika z tego, że w zestawie występuje dokładnie 17. Na przykład pięć szesnastek i pięć osiemnastek ma tę samą średnią. Warto połączyć argument ze znaczeniem średniej arytmetycznej, ale nie mylić średniej z elementem zbioru.
Liczby w okręgu
Wokół okręgu zapisano skończoną liczbę liczb rzeczywistych, co najmniej trzy. Każda jest średnią dwóch sąsiednich. Udowodnij, że wszystkie są równe.
Wybierz największą M. Jej sąsiedzi a i b spełniają a ≤ M i b ≤ M, a z warunku a + b = 2M. Gdyby którykolwiek był mniejszy od M, suma byłaby mniejsza od 2M. Obaj muszą więc być równi M. Ten sam argument stosujemy do kolejnych sąsiadów, aż obejdziemy cały okrąg.
Maksimum „wymusza” równość obok siebie. Nie wystarczy napisać, że taka konfiguracja wygląda symetrycznie: warunek średniej i wybór największego elementu dają logiczne uzasadnienie.
Skończoność ma znaczenie
Zbiór dodatnich liczb 1, 1/2, 1/3, 1/4, … nie ma elementu najmniejszego. Po wybraniu 1/n można wskazać mniejsze 1/(n + 1). Liczba 0 jest dolnym ograniczeniem, lecz nie należy do zbioru. Dlatego zdanie „wybierzmy najmniejszą liczbę” wymaga wcześniejszego sprawdzenia.
W zadaniu z dodatnimi liczbami całkowitymi sytuacja jest inna: każdy ich niepusty zbiór ma element najmniejszy. Nie przenoś jednak tej własności automatycznie na liczby rzeczywiste. Pomaga tu rozróżnienie zbiorów liczb.
- Ustal, w jakim zbiorze szukasz elementu skrajnego.
- Wyjaśnij jego istnienie.
- Zapisz nierówności wynikające z tego, że jest największy lub najmniejszy.
- Sprawdź, kiedy w użytej nierówności zachodzi równość.
Zadanie z różnymi dodatnimi liczbami całkowitymi
Wybrano siedem różnych dodatnich liczb całkowitych. Ich największa jest co najmniej równa 7. Gdyby była najwyżej 6, wszystkie należałyby do sześciu liczb 1–6, a nie moglibyśmy wybrać siedmiu różnych. Można to również zobaczyć przez zasadę szufladkową.
Najmniejsza możliwa suma takich siedmiu liczb wynosi 1 + 2 + … + 7 = 28. Po uporządkowaniu i-ta liczba jest co najmniej i, więc suma nie może być mniejsza. To uzasadnienie jest ważniejsze niż samo wskazanie przykładu 1–7: przykład pokazuje osiągalność 28, a nierówność dowodzi minimalności.