Dodawanie stałej liczby i mnożenie przez stały czynnik to dwa inne mechanizmy wzrostu. W pierwszych krokach mogą dawać zbliżone wyniki, ale później rozchodzą się bardzo wyraźnie. Kluczowe jest także ustalenie, czy pierwszy stan ma numer 0, czy 1.
Ten sam początek, inne reguły
Startujemy od 100. W modelu liniowym dodajemy po 100 na krok: 100, 200, 300, 400, 500, 600. W modelu podwajania: 100, 200, 400, 800, 1600, 3200. Po pięciu zmianach drugi wynik jest 3200, choć stanów zapisaliśmy sześć.
Jeśli n oznacza liczbę zmian od początku, pierwszy model ma wzór L(n) = 100 + 100n, a drugi E(n) = 100·2ⁿ. Dla n = 0 obie wartości są równe 100.
To odpowiednio ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Jawna numeracja pozwala sprawdzić, czy pytanie dotyczy piątego stanu, czy pięciu zmian po stanie początkowym.
Szachownica jako zadanie liczbowe
Na pierwszym polu umieszczamy jedno ziarno, na każdym kolejnym dwa razy więcej. Pole n zawiera 2ⁿ⁻¹ ziaren. Na polu 10 jest 512, a na polu 20 — 524 288. Nie trzeba dopisywać historycznej legendy, żeby zobaczyć matematyczny efekt reguły.
Suma na pierwszych n polach wynosi 2ⁿ − 1. Na 64 polach to 18 446 744 073 709 551 615. Ostatnie pole samo zawiera 2⁶³, a nie 2⁶⁴. Wzór na sumę i wzór na ostatni wyraz odpowiadają na dwa różne pytania.
Procent stały nie oznacza stałego przyrostu
W modelu wzrostu o 10% na krok wartość 100 przechodzi na 110, potem 121, a następnie 133,1. Przyrosty to 10, 11 i 12,1. Ten sam procent dotyczy coraz większej podstawy.
W modelu spadku o 10% otrzymujemy 100, 90, 81, 72,9. Po trzech krokach nie odejmujemy po prostu 30% początkowej wartości. Związek ze zmianami procentowymi ujawnia mnożnik 0,9³.
Model nie jest obietnicą nieskończonego wzrostu
Wyrażenie 100·2ⁿ może opisywać przyjętą regułę bez ograniczeń matematycznych. W świecie rzeczywistym mogą pojawić się ograniczenia zasobów, czasu albo miejsca. Zgodność kilku początkowych pomiarów nie dowodzi, że ta sama reguła będzie działała zawsze.
Podobnie hipotetyczne podwajanie grubości kartki 0,1 mm przez 10 kroków daje 102,4 mm, czyli 10,24 cm. To rachunek grubości w modelu, nie zapewnienie, że każdą kartkę da się fizycznie złożyć dziesięć razy.
- Nazwij stan początkowy i numer pierwszego kroku.
- Sprawdź, czy stały jest przyrost, czy mnożnik.
- Oddziel pojedynczy wyraz od sumy wszystkich wyrazów.
- Nie przenoś modelu poza jego założenia bez dodatkowych danych.
Ćwiczenie: start 50, cztery podwojenia. Wynik to 50·2⁴ = 800, a nie 400; ta druga liczba odpowiada trzem podwojeniom. Przy podejrzanej liczbie zer skorzystaj z praw działań na potęgach i szacowania rzędu wielkości.