„Trochę w prawo, teraz wyżej… nie, za daleko!” — tak można przez kilka minut kierować kogoś do właściwego miejsca na kartce. Można też podać dwie liczby i zakończyć poszukiwania. Układ współrzędnych pozwala precyzyjnie opisać położenie punktu, a później sprawdzić, dokąd punkt trafi po przesunięciu. Przydaje się w geometrii, na wykresach i podczas projektowania prostych gier. Zanim jednak postać ruszy po ekranie, trzeba ustalić, skąd zaczynamy i w którą stronę rosną liczby.

Dwie osie, które porządkują płaszczyznę

Prostokątny układ współrzędnych tworzą dwie prostopadłe osie liczbowe. Poziomą oznaczamy zwykle literą x, a pionową — literą y. Osie przecinają się w punkcie nazywanym początkiem układu. Ma on współrzędne (0, 0).

W standardowym szkolnym rysunku liczby na osi x rosną w prawo, natomiast na osi y — w górę. Na lewo od początku znajdują się ujemne współrzędne x, a poniżej niego ujemne współrzędne y. Strzałki na końcach osi wskazują ich dodatnie zwroty.

Zanim zaznaczysz pierwszy punkt, sprawdź podziałkę. Jedna kratka może odpowiadać jednej jednostce, ale równie dobrze dwóm, pięciu lub dziesięciu. Odległość między kolejnymi oznaczeniami odczytujesz z liczb przy osi, więc nie zakładaj automatycznie, że każda kratka oznacza jeden krok liczbowy.

Współrzędne punktu — najpierw x, potem y

Położenie punktu zapisujemy jako uporządkowaną parę liczb: (x, y). Pierwsza współrzędna określa pozycję w poziomie, druga — w pionie. Punkt A = (3, 2) znajduje się trzy jednostki na prawo i dwie jednostki powyżej początku układu.

Żeby go zaznaczyć, odszukaj na osi x liczbę 3, a następnie przesuń się równolegle do osi y o dwie jednostki w górę. W tym miejscu postaw kropkę i podpisz ją literą A. Możesz też poprowadzić pomocnicze linie od odpowiednich oznaczeń na obu osiach — ich przecięcie wskaże szukane miejsce.

Kolejność liczb ma znaczenie. Punkty (3, 2) oraz (2, 3) leżą w różnych miejscach. W pierwszym przypadku przesuwasz się dalej w poziomie, w drugim wyżej w pionie. Nawias nie zawiera więc dwóch liczb w dowolnej kolejności, lecz dokładną instrukcję odczytu położenia.

Jak odczytać punkt zaznaczony na rysunku?

Gdy punkt już znajduje się na płaszczyźnie, najpierw ustal jego współrzędną x. Poprowadź od niego w myślach pionową linię do osi poziomej i sprawdź, którą liczbę wskazuje. Następnie odczytaj y, kierując się poziomo do osi pionowej.

Załóżmy, że punkt leży cztery jednostki na lewo od osi y i trzy jednostki nad osią x. Jego współrzędne to (−4, 3). Minus przy pierwszej liczbie informuje o położeniu po lewej stronie, a dodatnia druga liczba — o położeniu nad osią poziomą.

Nie licz wyłącznie kratek od brzegu rysunku. Punktem odniesienia są osie oraz ich podziałki. Jeśli początek układu znajduje się w środku kartki, pięć kratek od lewego marginesu nie mówi jeszcze nic pewnego o współrzędnej x.

Cztery ćwiartki i znaki współrzędnych

Osie dzielą płaszczyznę na cztery części nazywane ćwiartkami. Numerujemy je od prawej górnej części, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. W każdej ćwiartce współrzędne mają określoną parę znaków.

Znaki pomagają szybko sprawdzić, czy punkt trafił we właściwy obszar. Jeśli zapisujesz (−5, −1), lecz kropka pojawia się po prawej stronie osi pionowej, coś się nie zgadza. Pierwsza współrzędna jest ujemna, więc punkt powinien leżeć po lewej stronie.

Punkty na osiach nie należą do żadnej ćwiartki. W punkcie (4, 0) druga współrzędna wynosi zero, dlatego leży on na osi x. Z kolei (0, −3) znajduje się na osi y, trzy jednostki poniżej początku. Sam punkt (0, 0) należy do obu osi.

Ruch w poziomie zmienia pierwszą współrzędną

Jeśli punkt przesuwa się wyłącznie w prawo lub w lewo, zmienia się jego współrzędna x. Współrzędna y pozostaje bez zmian. To znaczy, że punkt zachowuje tę samą wysokość na rysunku.

Weźmy punkt A = (2, 3). Po przesunięciu o cztery jednostki w prawo otrzymasz punkt B = (6, 3), ponieważ 2 + 4 = 6. Gdy natomiast przesuniesz A o pięć jednostek w lewo, dotrzesz do punktu C = (−3, 3), ponieważ 2 − 5 = −3.

Przekroczenie osi pionowej nie wymaga osobnej reguły. Nadal dodajesz lub odejmujesz liczbę jednostek. Punkt może przejść z prawej strony na lewą, a znak współrzędnej x zmieni się zgodnie z wynikiem działania.

Ruch w pionie zmienia drugą współrzędną

Przesunięcie w górę lub w dół wpływa na współrzędną y, natomiast x pozostaje takie samo. Jeśli zaczynasz w punkcie D = (−2, 1) i przemieszczasz się o trzy jednostki w górę, kończysz w punkcie E = (−2, 4).

Z tego samego punktu D możesz ruszyć o pięć jednostek w dół. Otrzymasz wtedy F = (−2, −4), ponieważ 1 − 5 = −4. Wszystkie trzy punkty mają identyczną pierwszą współrzędną, więc leżą na jednej pionowej prostej.

Pomocne jest krótkie pytanie kontrolne: „Czy punkt zmienił położenie w poziomie?”. Jeśli nie, pierwsza liczba w parze powinna pozostać bez zmian. Analogicznie przy ruchu wyłącznie poziomym zachowujesz drugą współrzędną.

Jak opisać przesunięcie w dwóch kierunkach?

Punkt może zmienić jednocześnie pozycję poziomą i pionową. Wtedy do każdej współrzędnej dodajesz odpowiednią zmianę. Załóżmy, że punkt A = (−2, 1) przesuwasz o pięć jednostek w prawo i trzy jednostki w dół.

Nowa współrzędna x wynosi −2 + 5 = 3, a nowa współrzędna y — 1 − 3 = −2. Punkt końcowy ma więc współrzędne B = (3, −2). Całe przesunięcie możesz opisać parą (5, −3): pierwsza liczba określa zmianę poziomą, druga pionową. Taka para opisuje wektor przesunięcia.

Ogólny zapis wygląda następująco:

(x, y) → (x + Δx, y + Δy)

Symbol Δx oznacza zmianę pierwszej współrzędnej, a Δy — zmianę drugiej. Dodatnie zmiany prowadzą odpowiednio w prawo i w górę, ujemne — w lewo i w dół. Sam wektor wskazuje przesunięcie między początkiem a końcem, lecz nie określa dokładnej drogi, którą punkt pokonał.

Położenie końcowe a długość przebytej drogi

Wyobraź sobie trasę z punktu (0, 0) do punktu (3, 4). Możesz przejść trzy jednostki w prawo, a następnie cztery w górę. Łączna długość tej drogi wyniesie 3 + 4 = 7 jednostek. Możesz też odwrócić kolejność odcinków i dotrzeć do tego samego miejsca.

Jeżeli jednak połączysz początek i koniec prostym odcinkiem, jego długość wyniesie 5 jednostek. Wynik otrzymasz z twierdzenia Pitagorasa: 3² + 4² = 9 + 16 = 25, a pierwiastek z 25 to 5. Zakładamy tutaj jednakową jednostkę długości na obu prostopadłych osiach.

Te same punkty początkowy i końcowy nie oznaczają tej samej długości trasy. Współrzędne pozwalają ustalić położenie, ale do obliczenia przebytej drogi potrzebujesz jeszcze opisu ruchu. Postać może dotrzeć do celu prostą drogą albo zrobić po drodze kilka okrążeń — adres końcowy tego nie zdradzi.

Jak obliczyć zmianę między dwoma punktami?

Jeśli znasz początek i koniec przesunięcia, odejmij współrzędne punktu początkowego od odpowiadających im współrzędnych punktu końcowego. Dla punktów A = (1, −2) oraz B = (5, 3) obliczasz:

Δx = 5 − 1 = 4

Δy = 3 − (−2) = 5

Przesunięcie z A do B wynosi zatem cztery jednostki w prawo i pięć jednostek w górę. Zwróć uwagę na drugie działanie: odejmujesz liczbę ujemną, więc wynik rośnie. Na rysunku możesz to sprawdzić, przechodząc od wysokości −2 przez zero aż do wysokości 3.

Przy ruchu w przeciwną stronę znaki zmian odwrócą się. Z B do A przesuwasz się o cztery jednostki w lewo i pięć w dół, czyli o wektor (−4, −5). Kolejność punktów jest tu równie istotna jak kolejność współrzędnych.

Układ współrzędnych w grze i na ekranie

W prostej grze dwie liczby mogą określać pozycję bohatera. Zmiana x przesuwa go poziomo, a zmiana y — pionowo. Jeśli postać startuje w punkcie (10, 5), a każdy krok w prawo zwiększa x o 2, po trzech krokach znajdzie się w punkcie (16, 5).

Nie każdy program stosuje jednak szkolny układ kierunków. W wielu układach ekranowych początek znajduje się w lewym górnym rogu, a współrzędna y rośnie w dół. W takim przypadku większe y oznacza niższą pozycję na ekranie. Inne środowiska umieszczają początek pośrodku i zachowują dodatni zwrot osi y ku górze.

Zanim zaczniesz opisywać ruch, sprawdź więc trzy informacje: położenie początku, kierunki wzrostu współrzędnych i jednostkę. Zasada uporządkowanej pary nadal działa, lecz znaczenie dodatniej zmiany zależy od przyjętego układu.

Krótka zabawa w nawigatora

Na kartce w kratkę narysuj osie i zaznacz punkt startowy (−1, 2). Jedna osoba wydaje instrukcje, druga przesuwa pionek lub zaznacza kolejne punkty. Najpierw trzy jednostki w prawo, potem cztery w dół, na końcu dwie w lewo. Po każdym ruchu zapiszcie współrzędne.

Kolejne położenia to (2, 2), (2, −2) oraz (0, −2). Punkt końcowy leży na osi y. Jeśli wynik się nie zgadza, sprawdźcie każdy etap osobno: przy ruchu poziomym powinna zmieniać się wyłącznie pierwsza liczba, przy pionowym — druga.

Później zamieńcie role albo poproś drugą osobę o wskazanie drogi powrotnej. Taka zabawa łączy rachunki z orientacją na płaszczyźnie i szybko ujawnia pomylone kierunki. Po kilku rundach „trochę wyżej” może już ustąpić precyzyjnemu „dwie jednostki w górę” — bez długich poszukiwań i nerwowego wskazywania palcem.