Liczby dające tę samą resztę zachowują się podobnie przy dodawaniu i mnożeniu modulo ustalona liczba. Pozwala to zastąpić nieskończenie wiele przypadków kilkoma klasami. Nie znaczy jednak, że wolno zawsze skracać i dzielić tak samo jak w zwykłej równości.
Zapis, który porządkuje sytuację
Każdą liczbę całkowitą można zapisać jako 3k, 3k + 1 lub 3k + 2. Odpowiada to resztom 0, 1 i 2 przy dzieleniu przez 3. Na przykład 17 = 3·5 + 2. Liczba −1 ma przy takim zapisie resztę 2, bo −1 = 3·(−1) + 2.
Sformułowanie a ≡ b (mod m) dla dodatniego m oznacza, że a − b jest podzielne przez m. Dla 17 i 2 różnica wynosi 15. Można dodawać i mnożyć odpowiadające sobie liczby, a następnie ponownie redukować resztę.
Kwadrat modulo 3
Zbadaj trzy przypadki. (3k)² jest podzielne przez 3. (3k + 1)² = 9k² + 6k + 1 daje resztę 1. (3k + 2)² = 9k² + 12k + 4 także daje resztę 1, bo 4 = 3 + 1. Zatem kwadrat liczby całkowitej ma modulo 3 tylko resztę 0 albo 1.
Wniosek: równanie x² = 3y + 2 nie ma rozwiązań całkowitych. Prawa strona ma resztę 2, a lewa nigdy jej nie ma. To argument obejmujący wszystkie liczby, nie test kilku małych x.
Iloczyn kolejnych liczb
Wśród n, n + 1 i n + 2 jedna liczba jest podzielna przez 3. Przynajmniej jedna jest parzysta. Iloczyn jest więc podzielny przez 2 i 3, a ponieważ te dzielniki są względnie pierwsze, jest podzielny przez 6.
Nie muszą to być dwa różne czynniki: czasem jedna z trzech liczb jest sama podzielna przez 6. Wyrażenie „jedna podzielna przez 3 i jedna parzysta” nie narzuca ich rozłączności. Parzystość jako niezmiennik jest szczególnym przypadkiem podobnego myślenia.
Dlaczego dzielenie wymaga uwagi
Mamy 2·1 ≡ 2·3 (mod 4), bo 2 i 6 mają tę samą resztę. Po „skróceniu przez 2” nie otrzymujemy jednak 1 ≡ 3 (mod 4): różnica 2 nie jest podzielna przez 4. Taki krok byłby błędny. Na tym etapie bezpiecznie używaj dodawania, odejmowania i mnożenia, a dzielenie uzasadniaj osobno.
- Ustal moduł zgodny z dzielnikiem występującym w zadaniu.
- Wypisz wszystkie możliwe reszty, nie tylko jedną wygodną.
- Sprawdź, jakie reszty dają wyrażenia po obu stronach.
- Sprzeczność reszt wyklucza rozwiązanie; zgodność jeszcze go nie dowodzi.
Ćwiczenie: czy suma dwóch kwadratów może dawać resztę 3 modulo 4? Kwadrat liczby parzystej ma resztę 0, a nieparzystej 1. Możliwe sumy to 0, 1 lub 2, nigdy 3. Zatem x² + y² = 4z + 3 nie ma rozwiązań całkowitych. Rozwijanie kwadratów możesz przećwiczyć w wzorach skróconego mnożenia, a własny dowód uporządkować według metody nie wprost.
Dla praktycznej odmiany ćwiczeń wykorzystaj rachunek dni tygodnia. Zamiast trzech lub czterech klas pojawia się siedem, ale pełne wielokrotności modułu nadal nie zmieniają reszty.