Oś liczbowa to więcej niż rysunek z zerem pośrodku. Pozwala odróżnić położenie liczby od odległości oraz pokazać, co dzieje się przy dodawaniu i odejmowaniu. Warunkiem jest stała jednostka: równe odstępy muszą przedstawiać równe różnice liczb.
Zacznij od zera i jednostki
Narysuj prostą, zaznacz 0 oraz 1. Odcinek między nimi wyznacza skalę wszystkich pozostałych oznaczeń. Nie trzeba umieszczać zera dokładnie w środku kartki. Liczby rosną w prawo; −5 leży na lewo od −2, choć 5 jest większe od 2.
Podzielenie jednostki na cztery równe części pozwala zaznaczyć 1/4, 1/2 i 3/4. Nie dziel całej widocznej kreski na cztery części, jeśli przedstawia ona więcej niż jedną jednostkę.
Pełny pasek odpowiada odległości od 0 do 1, a nie dowolnej długości narysowanej prostej. Porównaj to z modelem pasków ułamkowych.
Dodawanie i odejmowanie
Z punktu −3 dodajemy 5: przesuwamy się o pięć jednostek w prawo i docieramy do 2. Dla −3 − 5 przesuwamy się pięć w lewo, do −8. Odejmowanie liczby ujemnej zmienia kierunek: −3 − (−5) = −3 + 5 = 2.
Model ruchu jest pomocą w odczycie znaku. Nie oznacza, że każdą złożoną operację musimy zawsze rozrysowywać. Celem jest zrozumienie reguły, którą później wykorzystamy w kolejności działań i równaniach.
Liczba i odległość nie są tym samym
Położenie punktu to np. −4. Jego odległość od zera wynosi 4 i nie jest ujemna. Odległość między −4 a 3 wynosi 7: można obliczyć |3 − (−4)|. W odwrotnej kolejności |−4 − 3| także daje 7.
Związek ten opisuje wartość bezwzględna. Zdanie „punkt jest cztery jednostki od zera” wskazuje dwa możliwe położenia: −4 i 4. Nie wybieramy wyłącznie dodatniego, jeśli zadanie nie narzuca takiego ograniczenia.
Przedział i jego końce
Warunek −2 < x ≤ 3 zaznaczamy od −2 do 3, wyłączając lewy i włączając prawy koniec. Liczba −2 nie spełnia ostrego znaku, a 3 spełnia nieostry. Rysunek może używać pustego i pełnego kółka, ale trzeba umieć wyjaśnić ich znaczenie.
- Najpierw podpisz skalę i sprawdź kierunek wzrostu.
- Przy odległości pytaj o długość, nie znak punktu.
- W nierówności osobno sprawdź każdy koniec.
- Nie zastępuj zbioru liczb rzeczywistych listą samych liczb całkowitych.
Zadanie kontrolne
Które x są oddalone od 2 o mniej niż 3? Warunek |x − 2| < 3 daje −1 < x < 5. Końce są wyłączone, bo leżą dokładnie trzy jednostki od 2. Przykład x = 0 spełnia warunek, choć nie jest dodatni.
Z kolei całkowite rozwiązania tego warunku to 0, 1, 2, 3, 4. To pięć punktów wybranych z całego przedziału. Rozróżnienie rodzaju odpowiedzi przydaje się w nierównościach liniowych oraz w sprawdzaniu konkretnych luk w rozumowaniu.