Pytanie o dwie osoby z tym samym dniem urodzin brzmi inaczej niż pytanie, czy ktoś ma urodziny dokładnie w twoim dniu. W pierwszym porównujemy wiele par. To właśnie ta różnica sprawia, że wynik dla niewielkiej grupy może być zaskakujący.
Najpierw założenia
Przyjmijmy model 365 możliwych dni, bez 29 lutego, z jednakową szansą każdego dnia i niezależnymi datami dla różnych osób. To uproszczenie; rzeczywiste daty urodzin nie muszą być równomierne ani niezależne. Poniższy wynik dotyczy modelu, nie dokładnej prognozy dla każdej rzeczywistej klasy.
Szukamy prawdopodobieństwa, że przynajmniej jedna para w grupie ma ten sam dzień i miesiąc urodzin. Nie wymagamy tego samego roku.
Łatwiej policzyć brak wspólnej daty
Dla pierwszej osoby dostępnych jest 365 dni. Druga, aby nie powtórzyć daty, ma 364 z 365 możliwości. Trzecia — 363 z 365, jeśli wcześniejsze daty są różne. Dla trzech osób prawdopodobieństwo wszystkich różnych dat wynosi (365/365)·(364/365)·(363/365).
Dla 23 osób iloczyn kończy się czynnikiem 343/365. Prawdopodobieństwo co najmniej jednego powtórzenia to 1 minus ten iloczyn, około 0,5073, czyli 50,73%. Wystarcza nieco ponad połowa, nie pewność.
Rozumowanie korzysta z prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego i mnożenia kolejnych szans. Podobny zapis etapów przedstawia drzewo prawdopodobieństwa.
Skąd bierze się intuicyjna pułapka
W grupie 23 osób jest C(23, 2) = 253 pary. Gdy myślimy tylko o własnej dacie, porównujemy ją z 22 osobami, a nie wszystkie 253 pary między sobą. To inna liczba okazji do zgodności.
Nie wolno jednak po prostu pomnożyć 253 przez 1/365 i uznać wyniku za prawdopodobieństwo. Zdarzenia dotyczące par mogą zachodzić razem: trzy osoby o jednej dacie tworzą trzy zgodne pary. Takie mnożenie liczy oczekiwaną liczbę zgodnych par, a nie szansę wystąpienia przynajmniej jednej. Kombinacje pomagają policzyć pary, ale same nie kończą zadania.
Dwa inne pytania
Przy dwóch osobach szansa zgodnej daty wynosi 1/365. Dla grupy 366 osób powtórzenie jest pewne w modelu 365 dni — to zasada szufladkowa, nie rachunek zbliżony do 50%. Pomiędzy tymi skrajnościami prawdopodobieństwo stopniowo rośnie.
- Ustal, czy pytasz o dowolną parę, czy o zgodność z jedną wskazaną osobą.
- Rozróżnij szansę zdarzenia od liczby pasujących par.
- Nazwij uproszczenia modelu przed podaniem liczby.
Własne ćwiczenie możesz wykonać przez losowanie numerów 1–365, bez zbierania cudzych danych osobowych. Powtarzaj całe grupy, a nie tylko pojedyncze liczby. Częstość powtórzeń w krótkiej serii będzie się wahać — podobnie jak w doświadczeniu z żetonami.