Jeśli sześć przedmiotów rozdzielimy między pięć pudełek, przynajmniej jedno pudełko zawiera co najmniej dwa przedmioty. Nie musimy wiedzieć które. W zadaniach trudność polega najczęściej nie na tej obserwacji, lecz na znalezieniu odpowiednich „pudełek”.
Co gwarantuje zasada?
Dla n + 1 obiektów i n szufladek co najmniej jedna zawiera przynajmniej dwa obiekty. Gdy w każdej byłby najwyżej jeden, łączna liczba nie mogłaby przekroczyć n. To krótki dowód, nie tylko intuicyjny obrazek.
W grupie 13 osób przynajmniej dwie mają urodziny w tym samym miesiącu: osoby są obiektami, a 12 miesięcy szufladkami.
Nie wynika z tego, że mają urodziny tego samego dnia. Miesiąc jest szerszą kategorią niż konkretna data. Treść wniosku musi dokładnie odpowiadać wybranym szufladkom.
Pary zamiast pojedynczych liczb
Wybieramy sześć różnych liczb ze zbioru 1, 2, …, 10. Udowodnij, że dwie mają sumę 11. Zbuduj pięć par: {1, 10}, {2, 9}, {3, 8}, {4, 7}, {5, 6}. Sześć wybranych liczb trafia do pięciu par, więc przynajmniej jedna para jest wybrana w całości.
To lepszy podział niż szufladki „liczby małe” i „liczby duże”, bo każda kompletna para daje dokładnie szukany warunek. Pięć liczb nie wystarcza do gwarancji: wybór 1, 2, 3, 4, 5 nie zawiera sumy 11. W ten sposób pokazaliśmy również ostrość liczby sześć.
Wersja z większą liczbą obiektów
Jeżeli 23 obiekty trafiają do pięciu szufladek, w jednej jest co najmniej pięć. Gdyby wszędzie były najwyżej cztery, łącznie zmieściłoby się najwyżej 20. Ogólnie dolną gwarancję daje zaokrąglenie ilorazu liczby obiektów przez liczbę szufladek w górę.
Nie zakładamy równomiernego podziału. Właśnie dlatego wniosek pozostaje prawdziwy także przy bardzo nierównym rozkładzie. W porównaniu ze średnią arytmetyczną zasada mówi o istnieniu szufladki osiągającej odpowiedni próg, nie o identycznej zawartości wszystkich.
- Nazwij obiekty i sprawdź ich liczbę.
- Zdefiniuj szufladki tak, aby każdy obiekt miał miejsce.
- Wyjaśnij, dlaczego dwa obiekty w jednej szufladce dają szukany rezultat.
- Uważaj na różnicę między „co najmniej” i „dokładnie”.
Ćwiczenie z resztami
Wybierz sześć liczb całkowitych. Dwie mają tę samą resztę przy dzieleniu przez 5, ponieważ możliwe reszty to 0, 1, 2, 3, 4. Ich różnica jest więc podzielna przez 5: liczby 5a + r i 5b + r po odjęciu dają 5(a − b).
To połączenie zasady z rachunkiem reszt pozwala udowodnić istnienie pary bez sprawdzania wszystkich kombinacji dwóch elementów. Nie wskazuje jednak automatycznie, która para jest właściwa — to odrębne zadanie obliczeniowe.