Masz 24 niebieskie i 36 zielonych koralików. Chcesz przygotować jak najwięcej jednakowych zestawów, wykorzystując wszystkie koraliki. Każdy zestaw ma zawierać tyle samo niebieskich co pozostałe zestawy i tyle samo zielonych co pozostałe. Ile zestawów można zrobić? Szukamy liczby, która dzieli 24 i 36, a spośród takich liczb wybieramy największą. To właśnie NWD.
Największy wspólny dzielnik: trzy słowa, jeden warunek
Dzielnik musi dzielić liczbę bez reszty. Wspólny oznacza, że działa dla obu podanych liczb. Największy każe wybrać największą z dostępnych możliwości. Zapis NWD(24, 36) czytamy: największy wspólny dzielnik liczb 24 i 36.
W tej lekcji obie liczby są dodatnimi liczbami naturalnymi. Dzięki temu mają skończone listy dodatnich dzielników, z których można wybrać największy wspólny.
| Liczba | Dodatnie dzielniki |
|---|---|
| 24 | 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 |
| 36 | 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 |
Wspólne są 1, 2, 3, 4, 6 i 12. Największa z nich to 12, zatem NWD(24, 36) = 12. Sama mniejsza z danych liczb nie zawsze jest wspólnym dzielnikiem: 24 nie dzieli 36 bez reszty.
Co oznacza wynik w zadaniu z koralikami?
Można wykonać 12 jednakowych zestawów. W każdym znajdą się 24 : 12 = 2 niebieskie koraliki i 36 : 12 = 3 zielone. Zużywamy wszystkie: 12 · 2 = 24 oraz 12 · 3 = 36.
NWD nie jest tu liczbą koralików w jednym zestawie. Jest maksymalną liczbą zestawów. Ten sam rachunek w zadaniu o cięciu dwóch wstążek mógłby oznaczać maksymalną długość odcinka. Zawsze wróć do pytania i nazwij, co opisuje otrzymana liczba.
Większe liczby: wykorzystaj rozkład na czynniki pierwsze
Znajdźmy NWD(72, 120). Najpierw wykonujemy rozkład obu liczb na czynniki pierwsze:
72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3
120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5.
Tworzymy pary jednakowych czynników, biorąc po jednym wystąpieniu z każdego rozkładu. Mamy trzy wspólne dwójki i jedną wspólną trójkę. Ich iloczyn wynosi 2 · 2 · 2 · 3 = 24. Zatem NWD(72, 120) = 24.
Nie bierzemy drugiej trójki z 72, ponieważ w rozkładzie 120 nie ma dla niej pary. Nie bierzemy piątki, bo nie występuje w 72. Każdy czynnik wspólnego dzielnika musi mieścić się w obu liczbach, wraz z odpowiednią liczbą powtórzeń.
Przy potęgach wybieramy mniejszy wykładnik
Rozkłady z poprzedniego przykładu można zapisać krócej: 72 = 23 · 32, a 120 = 23 · 3 · 5. Dla każdego czynnika pierwszego występującego w obu liczbach wybieramy mniejszą liczbę wystąpień. Dla dwójki jest to 3, dla trójki 1. Otrzymujemy 23 · 3 = 24.
Nie wybieramy większego wykładnika. Dwie trójki dałyby czynnik 9, a 120 nie dzieli się przez 9. Jeśli zapis potęgowy utrudnia pracę, rozpisz czynniki i połącz je w pary — to ten sam sposób myślenia.
Kontrola: 72 : 24 = 3 i 120 : 24 = 5. Oba ilorazy są całkowite. To potwierdza wspólność dzielnika. O tym, że jest największy, świadczy wybranie wszystkich wspólnych czynników z dozwoloną liczbą powtórzeń, a nie samo wykonanie dwóch dzieleń.
Kiedy NWD wynosi 1?
Dzielniki 8 to 1, 2, 4 i 8, a dzielniki 15 to 1, 3, 5 i 15. Jedynym wspólnym dzielnikiem jest 1. Mówimy, że 8 i 15 są względnie pierwsze. Nie oznacza to, że każda z tych liczb jest liczbą pierwszą — obie są złożone.
Inny łatwy przypadek występuje wtedy, gdy jedna liczba dzieli drugą. Ponieważ 12 dzieli 48, mamy NWD(12, 48) = 12. Żaden dodatni dzielnik 12 nie może być od niego większy.
Do czego jeszcze przydaje się NWD?
Ułamek 72/120 można od razu skrócić przez 24. Otrzymujemy 3/5. Nie zmieniamy wartości ułamka, bo dzielimy licznik i mianownik przez tę samą niezerową liczbę. Samą zasadę szerzej omawia lekcja o skracaniu ułamków zwykłych.
- Przy grupowaniu przedmiotów sprawdź, czy każda grupa ma mieć identyczny skład.
- Przy cięciu sprawdź, czy wszystkie odcinki mają mieć tę samą długość i czy wolno pozostawić resztki.
- Przy skracaniu ułamka dziel licznik i mianownik przez ten sam dzielnik.
Nie dobieraj NWD tylko dlatego, że w treści występuje słowo „największy”. Najpierw sprawdź, co ma dzielić jakie wielkości. Rachunki pomocnicze ułatwią strategie liczenia w pamięci.
Film z kolejnymi krokami
Film „Największy wspólny dzielnik”, Pi-stacja / Katalyst Education, pokazuje wyszukiwanie wspólnych czynników. Spróbuj przewidzieć, ile razy dany czynnik można wykorzystać, zanim zobaczysz odpowiedź.
Ćwiczenia
- Oblicz NWD(18, 30).
- Oblicz NWD(48, 72).
- Oblicz NWD(14, 25).
- Wstążki długości 84 cm i 126 cm trzeba pociąć na jednakowe odcinki o całkowitej długości w centymetrach, bez resztek. Jaka jest największa możliwa długość odcinka i ile odcinków powstanie?
- Skróć 48/72 przez największy wspólny dzielnik.
Odpowiedzi i rozwiązanie zadania praktycznego
1. 6. 2. 24. 3. 1. 4. 42 cm; łącznie 5 odcinków. 5. 2/3.
W zadaniu 4 rozkłady to 84 = 2 · 2 · 3 · 7 i 126 = 2 · 3 · 3 · 7. Wspólne czynniki dają 2 · 3 · 7 = 42. Z pierwszej wstążki powstaną 84 : 42 = 2 odcinki, a z drugiej 126 : 42 = 3. Łącznie jest ich 5. Długość odcinka i liczba odcinków to dwie różne odpowiedzi.