Rozkład na czynniki pierwsze — drzewko czy dzielenie w słupku?

Liczbę 84 można zapisać jako 12 · 7 albo 6 · 14. To poprawne iloczyny, ale nie są jeszcze rozkładem na czynniki pierwsze: 12, 6 i 14 pozostają złożone. Celem jest dojście do zapisu, w którym każdy czynnik jest liczbą pierwszą. Można zrobić to na drzewku albo za pomocą dzielenia w słupku.

Co ma znaleźć się na końcu?

Rozkład liczby naturalnej większej od 1 na czynniki pierwsze to przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych. Dla 84 otrzymujemy 84 = 2 · 2 · 3 · 7. Wszystkie czynniki są pierwsze, a ich iloczyn odtwarza liczbę początkową.

Nie chodzi o rozpisanie sumy. Zapis 84 = 80 + 4 jest prawdziwy, ale nie stanowi rozkładu na czynniki. Słowo „czynnik” odnosi się do mnożenia. W razie potrzeby przypomnij sobie różnicę między liczbą pierwszą a złożoną.

Drzewko: rozbijaj tylko liczby złożone

Zacznij od dowolnej wygodnej pary czynników większych od 1. Dla 84 możemy wybrać 12 i 7. Siódemka jest pierwsza, więc jej już nie rozbijamy. Liczbę 12 zapisujemy jako 3 · 4, a czwórkę jako 2 · 2.

       84
      /  \
     12   7
    /  \
   3    4
       / \
      2   2

Odczytujemy liczby na końcach gałęzi: 3, 2, 2 i 7. Porządkujemy je rosnąco i zapisujemy 2 · 2 · 3 · 7. Nie mnożymy dodatkowo przez 12 i 4, bo zostały już zastąpione mniejszymi czynnikami.

Inne drzewko może zaczynać się od 6 · 14. Następnie 6 = 2 · 3 i 14 = 2 · 7. Otrzymasz te same czynniki pierwsze z tą samą liczbą powtórzeń, choć układ gałęzi będzie inny. Dla liczby większej od 1 rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

Słupek: dziel przez kolejne pasujące liczby pierwsze

W zapisie słupkowym po lewej umieszczamy bieżący iloraz, a po prawej jego dzielnik pierwszy. Każde dzielenie musi być wykonane bez reszty. Wygodnie zaczynać od 2 i korzystać z cech podzielności.

84 | 2
42 | 2
21 | 3
 7 | 7
 1 |

Czytamy liczby z prawej kolumny: 2, 2, 3, 7. Ostatni krok jest ważny. Gdy po lewej otrzymasz 7, trzeba jeszcze uwzględnić czynnik 7. Kończymy, gdy w lewej kolumnie pojawi się 1. Nie dopisujemy jednak jedynki do listy czynników pierwszych.

Jeżeli sam rachunek dzielenia utrudnia pracę, wróć do dzielenia pisemnego. W rozkładzie sprawdzaj także po każdym kroku, czy dzielenie było dokładne.

Powtarzające się czynniki można zapisać potęgą

Dla 360 dzielenie daje kolejno: 360 : 2 = 180, 180 : 2 = 90, 90 : 2 = 45, 45 : 3 = 15, 15 : 3 = 5 i 5 : 5 = 1. Zatem:

360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2³ · 3² · 5.

Wykładnik 3 oznacza trzy czynniki równe 2, a nie mnożenie 2 przez 3. Jeśli zapis potęgowy jest jeszcze nowy, możesz pozostawić pełny iloczyn. Obie postacie opisują tę samą wartość; znaczenie wykładnika wyjaśnia lekcja o potęgowaniu.

Kiedy rozkład jest już gotowy?

• Każdy zapisany czynnik jest liczbą pierwszą.
• Liczba wystąpień każdego czynnika została zachowana.
• Iloczyn wszystkich czynników jest równy liczbie początkowej.

Zapis 72 = 2 · 3 · 12 nie spełnia pierwszego warunku, bo 12 jest złożone. Po rozbiciu 12 na 2 · 2 · 3 otrzymujemy 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3. Sam zapis 2 · 3 dawałby tylko 6 — pomijałby potrzebne powtórzenia.

Liczby pierwszej, na przykład 13, nie trzeba rozbijać na mniejsze czynniki pierwsze: jej rozkładem jest samo 13. Jedynka nie ma rozkładu zawierającego czynniki pierwsze, a zero nie ma takiego rozkładu na skończony iloczyn. W tej lekcji ćwiczymy liczby większe od 1.

Film: od liczby do iloczynu

Obejrzyj „Rozkład liczby na czynniki pierwsze — wprowadzenie”, Pi-stacja / Katalyst Education. Zwróć uwagę na różnicę między dowolnym rozbiciem liczby a końcowym iloczynem samych czynników pierwszych.

Ćwiczenia

1. Rozłóż 60 na czynniki pierwsze.
2. Rozłóż 90 w słupku.
3. Narysuj drzewko dla 48, zaczynając od 6 · 8.
4. Sprawdź i popraw: 100 = 2 · 5 · 10.
5. Zapisz rozkład 81 za pomocą potęgi.

Odpowiedzi i kontrola iloczynem

1. 60 = 2 · 2 · 3 · 5. 2. 90 = 2 · 3 · 3 · 5. 3. 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3. 4. 100 = 2 · 2 · 5 · 5. 5. 81 = 3⁴.

W zadaniu 3 rozbijamy 6 na 2 · 3, a 8 na 2 · 2 · 2. Z obu gałęzi zbieramy cztery dwójki i jedną trójkę. Kontrola daje 2 · 2 · 2 · 2 · 3 = 16 · 3 = 48. Z kolei w zadaniu 4 iloczyn początkowy miał dobrą wartość, lecz wymagał rozbicia dziesiątki.

Gotowe rozkłady wykorzystasz do znalezienia największego wspólnego dzielnika. Wtedy przyda się nie tylko rodzaj czynnika, ale również to, ile razy występuje w każdej liczbie.