Trzy wymiary prostopadłościanu pozwalają obliczyć jego pole powierzchni i objętość. Przy zadaniu z przekątną trzeba jeszcze ustalić, czy odcinek leży na jednej ścianie, czy biegnie przez wnętrze bryły. Poniżej porządkujemy oznaczenia, odczytujemy wzory z budowy prostopadłościanu i rozwiązujemy przykłady, w których podano zarówno komplet długości, jak i tylko część danych.
Jak rozpoznać prostopadłościan i jego wymiary?
Prostopadłościan jest graniastosłupem prostym o prostokątnej podstawie. Ma sześć prostokątnych ścian, osiem wierzchołków i dwanaście krawędzi. Nie należy przeciwstawiać go graniastosłupom: jest ich szczególnym przypadkiem. Nie każdy graniastosłup jest jednak prostopadłościanem. Podstawa trójkątna albo ukośne krawędzie boczne nie spełniają tej definicji.
Oznaczmy wymiary podstawy przez a i b, a wysokość przez H, tak jak na zachowanym rysunku. W innych zadaniach trzeci wymiar bywa oznaczany literą c; nie zmienia to zależności. Z każdego wierzchołka wychodzą trzy wzajemnie prostopadłe krawędzie. W obrębie każdej z trzech grup czterech równoległych krawędzi długości są jednakowe. Nie zakładaj natomiast, że a, b i H są równe.
Gdy wszystkie trzy wymiary są jednakowe, otrzymujemy sześcian. Wtedy wzory się upraszczają, ale nie wolno przenosić tych uproszczeń na bryłę o różnych wymiarach. Kwadratowa podstawa też nie wystarcza do rozpoznania sześcianu: wysokość może być inna niż krawędź podstawy.
Pole powierzchni odczytane ze ścian i siatki
Prostopadłościan ma trzy pary przystających ścian. Dwie mają wymiary a i b, dwie a i H, a pozostałe dwie b i H. Dodając ich pola, otrzymujemy 
. Można też zapisać 
. To dwa równoważne sposoby zsumowania pól tych samych sześciu prostokątów.
Jeśli jako podstawę wybierzemy prostokąt o bokach a i b, pole jednej podstawy wynosi ab, a pole boczne to 
. Nazwa zależy od wskazanej podstawy, podczas gdy pole całkowite pozostaje takie samo po obróceniu bryły. W rozwiązaniu warto narysować siatkę albo wypisać trzy rodzaje prostokątów. W ten sposób łatwiej sprawdzić, czy żadnej ściany nie pominięto ani nie policzono dodatkowo.
Wyobraźmy sobie zamknięte pudełko o wymiarach 3 cm, 4 cm i 12 cm. Trzy rodzaje ścian mają pola 12 cm², 36 cm² i 48 cm². Każdy występuje dwa razy, dlatego pole całkowite wynosi 192 cm². Jeśli to pudełko bez górnej pokrywy o wymiarach 3 cm na 4 cm, odejmujemy dokładnie 12 cm² i otrzymujemy 180 cm². Nie dzielimy całego pola przez dowolną liczbę ścian.
Objętość i jednostki sześcienne
Objętość jest iloczynem pola podstawy i wysokości: 
. Można ją rozumieć jako zliczanie jednostkowych sześcianów ułożonych w warstwach. Iloczyn ab opisuje rozmiar jednej warstwy, a wysokość określa, ile takich jednostkowych warstw mieści się w bryle. To wyjaśnia, dlaczego w wyniku pojawia się jednostka sześcienna, a nie kwadratowa.
Dla poprzedniego przykładu otrzymujemy 
cm³. Ten wynik nie jest polem potrzebnego materiału. Dwa prostopadłościany mogą mieć taką samą objętość i różne pola powierzchni, więc znajomość jednej wielkości bez dodatkowych danych nie wyznacza automatycznie drugiej.
Film Pi-stacji wyjaśnia objętość prostopadłościanu i sześcianu przez jednostkowe kostki oraz iloczyn wymiarów.
| Szukana wielkość | Co uwzględnić? |
|---|---|
| Pole jednej ściany | Iloczyn jej dwóch boków; jednostka kwadratowa. |
| Pole całkowite | Trzy pary ścian, bez pomijania podstaw. |
| Objętość | Iloczyn trzech wymiarów w jednej jednostce długości. |
| Przekątna bryły | Odcinek przez wnętrze; potrzebne wszystkie trzy wymiary. |
Przed podstawieniem ujednolić trzeba jednostki długości. Pojemnik o wymiarach 20 cm, 30 cm i 0,5 m można przeliczyć na decymetry: 2 dm, 3 dm i 5 dm. Jego objętość to 30 dm³, czyli 30 litrów. Przy polu wynik wyniósłby 62 dm². Przeliczenie samych długości przed rachunkami jest wygodniejsze niż późniejsze naprawianie niezgodnych jednostek.
Przekątna ściany i przekątna bryły
Przekątna prostokątnej podstawy leży w jednej płaszczyźnie i spełnia 
. Dla podstawy 3 cm na 4 cm ma 5 cm. Przekątna całego prostopadłościanu łączy wierzchołki nienależące do jednej ściany. Jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych d_p i H. Ponowne użycie twierdzenia Pitagorasa daje 
.
W bryle o wymiarach 3 cm, 4 cm i 12 cm przekątna ma długość 13 cm, bo suma kwadratów wynosi 169. Przekątna podstawy wynosiła tylko 5 cm. Są to różne odcinki i zwykle odpowiadają na inne pytania. Rysunek powinien pokazywać, z którego wierzchołka do którego poprowadzono odcinek, a nie tylko zawierać literę d przy dowolnej linii.
Gdy wynik nie jest całkowity, pozostawiamy go w postaci pierwiastka albo upraszczamy zgodnie z zasadami pierwiastkowania. Na przykład dla wymiarów 2, 3 i 4 suma kwadratów to 29, więc przekątna wynosi pierwiastek z 29 w tej samej jednostce długości. Nie jest równa sumie trzech krawędzi i nie otrzymuje jednostki sześciennej.
Brakujący wymiar i sprawdzenie danych
Jeżeli objętość wynosi 210 cm³, a podstawa ma boki 5 cm i 7 cm, jej pole to 35 cm². Wysokość otrzymujemy po podzieleniu objętości przez to pole: H = 6 cm. Przed dzieleniem wiemy, że pole podstawy jest dodatnie, ponieważ oba boki są dodatnimi długościami. Wstawienie 6 do iloczynu 5 · 7 · 6 potwierdza podaną objętość.
Wymiar można też odzyskać z pola całkowitego. Jeśli a = 2 cm, b = 5 cm i pole wynosi 104 cm², równanie ma postać 
. Wynika z niego H = 6 cm. Użycie samego pola podstawy nie wystarczyłoby: trzeba uwzględnić wszystkie ściany zależne od szukanej wysokości. Ujemna wysokość oznaczałaby, że równanie, rachunki lub dane nie pasują do tej bryły.
- Podpisz trzy wymiary i wybierz podstawę.
- Ustal, czy pytanie dotyczy powierzchni, wnętrza czy odcinka.
- W zadaniu z siatką rozpoznaj pary odpowiadających sobie ścian.
- Przy przekątnej zaznacz właściwy trójkąt prostokątny.
- Sprawdź wynik w pierwotnym równaniu i dopisz jednostkę.
Otrzymana przekątna bryły powinna być dłuższa od każdej jej krawędzi. Pole zamkniętej bryły musi zawierać obie podstawy, a objętość zależy od trzech wymiarów. Te proste kontrole pozwalają wychwycić pomyłkę, zanim gotową liczbę uznamy za odpowiedź na pytanie z zadania.