Na stole leży 21 żetonów. Dwóch graczy wykonuje ruchy na zmianę; w ruchu trzeba zabrać 1, 2 lub 3 żetony. Wygrywa osoba, która zabierze ostatni. Przy tych zasadach rozpoczynający może zagwarantować zwycięstwo — ale musi pilnować stanu stołu, nie tylko własnego ruchu.
Zacznij od końca
Przy jednym, dwóch lub trzech żetonach gracz na ruchu zabiera wszystkie i wygrywa. Przy czterech nie może tego zrobić: po zabraniu 1, 2 lub 3 pozostawia przeciwnikowi odpowiednio 3, 2 lub 1, a więc natychmiastową wygraną. Cztery to pozycja przegrywająca dla osoby na ruchu przy poprawnej grze przeciwnika.
Osiem zachowuje się podobnie. Każdy ruch zostawia 5, 6 lub 7, skąd przeciwnik może zejść do 4. Tak dochodzimy do wielokrotności 4: po swoim ruchu warto zostawiać je drugiej osobie.
Pierwszy ruch przy 21
Zabierz jeden żeton, pozostawiając 20. Jeśli przeciwnik zabierze k żetonów, gdzie k to 1, 2 lub 3, odpowiedz zabraniem 4 − k. Oba ruchy razem usuwają 4 żetony, więc po twojej odpowiedzi pozostaje kolejno 16, 12, 8 i 4. Ostatecznie zabierzesz ostatnie żetony po ruchu przeciwnika.
Nie musisz przewidywać dokładnych wyborów rywala. Kontrolujesz resztę liczby żetonów przy dzieleniu przez 4. Więcej takich argumentów zawiera tekst o resztach z dzielenia.
Dlaczego to dowód, a nie szczęśliwa partia
Dla każdej z trzech odpowiedzi rywala masz dozwolony ruch: po 1 bierzesz 3, po 2 bierzesz 2, po 3 bierzesz 1. W żadnym przypadku odpowiedź nie wychodzi poza zasady. Liczba żetonów maleje, więc gra musi się skończyć. To argument obejmujący wszystkie ruchy przeciwnika.
- Przetestuj najpierw stany od 1 do 8.
- Zaznacz pozycje przegrywające dla gracza na ruchu.
- Dla każdej pozostałej pozycji wskaż ruch do takiej pozycji.
- Sprawdź, czy reguła działa również przy końcu partii.
Taki zapis łączy myślenie o zachowywanej własności z analizą wszystkich możliwości, lecz nie wymaga wypisywania całego drzewa gry.
Zmień warunek i zbadaj go od nowa
Przy 20 żetonach rozpoczynający nie ma strategii gwarantującej zwycięstwo przeciw idealnej odpowiedzi, bo od razu jest na wielokrotności 4. Może wygrać po pomyłce rywala, ale to inna teza niż „może wymusić wygraną”.
Jeśli ostatni żeton oznacza przegraną, pozycje zmieniają się. Przy jednym gracz na ruchu przegrywa; przy 2–4 może zostawić jeden. Nie przenoś więc starej reguły bez ponownej analizy. Własną tabelę stanów można prowadzić obok ćwiczeń z reguły mnożenia, pamiętając, że policzenie wariantów i znalezienie strategii to różne zadania.
Jeśli chcesz sprawdzić inną łamigłówkę opartą na warunku koniecznym, przejdź do rysowania jedną kreską. Tam o możliwości przejścia decydują połączenia, a nie przewidywanie kolejności na oko.