Równania liniowe z jedną niewiadomą – rozwiązywanie krok po kroku

W równaniu szukasz liczby, która po pomnożeniu przez 3 i zwiększeniu o 5 daje 20. Tę liczbę można znaleźć bez zgadywania: wykonując te same działania po obu stronach znaku równości. Poniżej przejdziesz od prostego przykładu do równań z nawiasami i ułamkami. Zobaczysz też, jak sprawdzić wynik oraz rozpoznać sytuację, w której równanie nie ma rozwiązania albo spełnia je każda liczba rzeczywista.

Co oznacza rozwiązanie równania?

Litera oznacza niewiadomą, czyli szukaną liczbę. Rozwiązaniem równania jest taka wartość niewiadomej, dla której lewa i prawa strona mają tę samą wartość. W równaniu pasuje , ponieważ . Liczba 4 nie pasuje: po jej podstawieniu otrzymujemy po lewej stronie 17, a po prawej 20.

Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą można po uproszczeniu zapisać jako , gdzie jest liczbą różną od zera. Liczba stojąca przy niewiadomej to jej współczynnik. Zapis oznacza , a samo ma współczynnik 1. Rozwiązanie wynosi wtedy . Nie musi być liczbą całkowitą: dla otrzymasz .

W szkolnych zadaniach spotkasz też równania, w których po redukcji wyrazy z niewiadomą znikają. Do tych szczególnych przypadków wrócimy dalej. We wszystkich przykładach rozpatrujemy liczby rzeczywiste; nie ograniczamy odpowiedzi wyłącznie do liczb dodatnich ani całkowitych.

Jak przekształcać równanie, żeby zachować jego rozwiązania?

Możesz dodać lub odjąć tę samą liczbę albo to samo wyrażenie po obu stronach. Możesz również pomnożyć lub podzielić obie strony przez tę samą liczbę różną od zera. Tak otrzymujesz równanie równoważne, czyli mające dokładnie te same rozwiązania. Dzielenie przez zero jest niedozwolone.

Rozwiążmy pierwszy przykład:

Odejmujemy 5 po obu stronach. Lewa strona upraszcza się, bo :

Teraz dzielimy obie strony przez 3:

Określenie „przenosimy 5 na drugą stronę ze zmianą znaku” jest skrótem opisu odejmowania 5 od obu stron. Liczba nie zmienia znaku sama z siebie. Ten sam mechanizm działa, gdy po obu stronach występuje niewiadoma. Z równania , po odjęciu i dodaniu 4 do obu stron, otrzymujesz , a następnie .

Lekcja Pi-stacji / Katalyst Education pokazuje przekształcanie równań, rozpoznawanie liczby rozwiązań i sprawdzanie wyniku przez podstawienie. Początkowy przykład pomaga prześledzić działania wykonywane po obu stronach.

Nie musisz od razu wykonywać kilku działań naraz. Przy pierwszych zadaniach zapisuj osobno odejmowanie wyrazów z niewiadomą, a osobno porządkowanie liczb. Łatwiej wtedy wskazać miejsce ewentualnego błędu. Po uproszczeniu współczynnik może być ujemny: z wynika , bo dzielisz obie strony przez −2.

Równanie z nawiasami: mnożymy każdy składnik

Przed zbieraniem wyrazów z niewiadomą usuń nawiasy. Mnożnik stojący przed nawiasem działa na każdy składnik w środku. Na przykład , a . Jeśli pojawia się sam minus, traktuj go jak mnożenie przez −1: . Pomaga w tym znajomość kolejności wykonywania działań.

Rozważ równanie z dwoma nawiasami:

Po wymnożeniu otrzymujesz:

Łączysz wyrazy podobne: , natomiast . Zatem:

Dodajesz 8 do obu stron i otrzymujesz . Sprawdzenie w pierwotnym równaniu daje . Obie strony są równe.

Wyrazy podobne mają taką samą część literową. Dlatego można połączyć, ale pozostaje różnicą dwóch różnych składników. Nie zapisuj jej jako . Gdy przed nawiasem stoi ujemny mnożnik, zapisz najpierw wszystkie iloczyny ze znakami, a dopiero potem dodawaj. Ten dodatkowy wiersz chroni przed zgubieniem minusa.

Równanie z ułamkami: pozbywamy się mianowników

Gdy mianowniki są stałymi liczbami różnymi od zera, możesz pomnożyć całe równanie przez ich wspólną wielokrotność. Najmniejsza wspólna wielokrotność zwykle ułatwia rachunki. Musisz pomnożyć każdy składnik po obu stronach, również taki, który nie jest ułamkiem. Zasady skracania przypomina artykuł o działaniach na ułamkach zwykłych.

Rozwiążmy:

Mianowniki 3 i 2 mają najmniejszą wspólną wielokrotność 6. Mnożymy każdy składnik przez 6:

Po skróceniu otrzymujemy:

Usuwamy nawias i łączymy wyrazy z niewiadomą:

Dodajemy 2, a następnie dzielimy przez 5:

Sprawdź oba składniki oddzielnie. Pierwszy ma wartość , a drugi . Ich suma to 4. Wynik z przecinkiem jest tak samo poprawny jak ułamek zwykły. Jeżeli rozwinięcie dziesiętne nie jest skończone, pozostaw dokładny ułamek zamiast zastępować go zaokrągleniem.

Uwaga dotyczy zakresu tej metody: tutaj niewiadoma występuje w liczniku, a mianowniki są stałe. Jeśli pojawia się w mianowniku, trzeba najpierw wykluczyć wartości, dla których mianownik wynosi zero. To osobny rodzaj zadań; nie stosuj mechanicznie powyższego schematu bez sprawdzenia dopuszczalnych wartości.

Co zrobić, gdy niewiadoma znika?

Nie każda redukcja kończy się wynikiem . Jeśli wyrazy z niewiadomą po obu stronach mają takie same współczynniki, po ich odjęciu otrzymasz zapis . Nie dziel wtedy przez współczynnik 0. Oceń równość liczbową, która pozostała.

Postać po uproszczeniu	Co z niej wynika?	Odpowiedź
	Współczynnik przy niewiadomej jest różny od zera.	Jedno rozwiązanie: .
, czyli	Równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej.	Nieskończenie wiele rozwiązań; równanie tożsamościowe.
, czyli	Równość jest fałszywa niezależnie od podstawionej liczby.	Brak rozwiązań; równanie sprzeczne.

Na przykład po usunięciu nawiasu daje . Odejmując od obu stron, otrzymujesz . Nie oznacza to, że jedynym rozwiązaniem jest zero: równanie spełnia każda liczba rzeczywista.

Natomiast prowadzi do , a następnie do . Nie istnieje liczba, która sprawiłaby, że ta równość stanie się prawdziwa. Zniknięcie litery nie jest więc błędem rachunkowym samo w sobie; trzeba jeszcze odczytać pozostałą równość.

Jak sprawdzić wynik i znaleźć błąd?

Podstaw otrzymaną liczbę do równania w postaci z początku zadania. Oblicz lewą i prawą stronę niezależnie. Gdy mają tę samą wartość, liczba spełnia równanie. Sprawdzenie wyłącznie ostatniego wiersza nie wykryje błędu popełnionego wcześniej przy usuwaniu nawiasu.

• Przy zmianie znaków sprawdź, jakie działanie wykonano po obu stronach.
• Przy nawiasach sprawdź, czy mnożnik objął każdy składnik.
• Przy ułamkach sprawdź, czy pomnożono także liczby bez mianownika.
• Przy dzieleniu sprawdź znak współczynnika oraz to, czy jest różny od zera.
• Przy zapisie odpowiedzi zachowaj dokładną wartość i uwzględnij zakres liczb wskazany w zadaniu.

Przećwicz teraz samodzielnie trzy równania: , oraz . Ich rozwiązania to kolejno 4, 5 i 10. Zapisz przekształcenia, a potem podstaw każdą liczbę do właściwego równania. Jeśli wynik nie pasuje, wróć do pierwszego miejsca, w którym zmienia się znak lub znika nawias. Poprawny zapis kolejnych działań pozwala znaleźć przyczynę błędu, zamiast zaczynać obliczenia od zgadywania innej odpowiedzi.