Dwa sygnały zabrzmiały jednocześnie. Pierwszy powtarza się co 6 minut, drugi co 8 minut. Kiedy znów zabrzmią razem? Nie szukamy liczby dzielącej 6 i 8, lecz czasu, który jest wielokrotnością obu tych okresów. Najmniejsza dodatnia taka liczba to NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność.
Wypisz chwile kolejnych powtórzeń
Po wspólnym początku pierwszy sygnał usłyszymy po 6, 12, 18, 24, 30 minutach. Drugi zabrzmi po 8, 16, 24, 32 minutach. Pierwszy dodatni czas obecny na obu listach to 24. Zatem NWW(6, 8) = 24.
Nie wybieramy zera, choć 0 jest wielokrotnością obu liczb. Pytanie dotyczy następnego spotkania, a w definicji NWW dodatnich liczb wybieramy dodatnią wielokrotność.
| Liczba | Dodatnie wielokrotności |
|---|---|
| 6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48… |
| 8 | 8, 16, 24, 32, 40, 48… |
Liczba 48 też jest wspólna, ale nie jest najmniejsza. Samo znalezienie wspólnej wartości nie kończy zadania: trzeba sprawdzić, czy wcześniej nie wystąpiła mniejsza dodatnia.
NWW i NWD odpowiadają na inne pytania
Największy wspólny dzielnik dzieli obie liczby bez reszty. Najmniejsza wspólna wielokrotność jest przez obie liczby podzielna. Dla 6 i 8 mamy NWD = 2, ale NWW = 24. Dwie minuty nie stanowią pełnego okresu żadnego z sygnałów.
Pomocne pytanie brzmi: czy szukam wielkości mieszczącej się w obu danych liczbach, czy wspólnego wyniku ich wielokrotnego powtarzania? Nie wybieraj metody wyłącznie po słowie „najmniejszy” albo „największy”.
Rozkład na czynniki pomaga przy większych liczbach
Obliczmy NWW(18, 24). Korzystamy z rozkładu na czynniki pierwsze:
18 = 2 · 3 · 3
24 = 2 · 2 · 2 · 3.
Wspólna wielokrotność musi zawierać dość czynników, aby dało się z niej wydzielić zarówno 18, jak i 24. Potrzebujemy trzech dwójek, ponieważ tyle występuje w 24, oraz dwóch trójek, ponieważ tyle występuje w 18. Otrzymujemy 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 72.
Przy zapisie potęgowym wybieramy większy wykładnik każdego występującego czynnika pierwszego. Tutaj 18 = 2 · 32, a 24 = 23 · 3, więc NWW = 23 · 32 = 72. W NWD wybieraliśmy wspólne czynniki z mniejszą liczbą powtórzeń — nie pomyl tych dwóch procedur.
Dlaczego nie zawsze mnożymy dane liczby?
Iloczyn dodatnich liczb jest ich wspólną wielokrotnością, ale często zbyt dużą. Dla 18 i 24 iloczyn to 432, a najmniejsza wspólna wielokrotność wynosi tylko 72. W rozkładzie iloczynu część czynników powtarzamy więcej razy, niż potrzebujemy.
Jeżeli jedna liczba dzieli drugą, NWW jest większą z nich: NWW(5, 20) = 20. Gdy liczby są względnie pierwsze, ich NWW jest iloczynem: NWW(5, 7) = 35. W razie wątpliwości wróć do list wielokrotności lub rozkładów, zamiast stosować skrót bez sprawdzenia warunków.
Od okresu do godziny na zegarze
Dwie linie modelowego rozkładu odjeżdżają wspólnie o 9:10, a ich odstępy wynoszą 12 i 18 minut. Zakładamy, że oba rozkłady przez rozpatrywany czas zachowują te odstępy. NWW(12, 18) = 36, więc kolejny wspólny odjazd przypada o 9:46.
NWW daje tutaj czas oczekiwania, a nie gotowy zapis godziny. Dodawanie minut wyjaśnia lekcja o godzinach, minutach i sekundach.
Wspólny początek jest ważnym założeniem. Jeśli drugi sygnał rozpoczyna serię trzy minuty później, samo NWW okresów nie określa pierwszego spotkania. Trzeba uwzględnić przesunięcie i porównać rzeczywiste chwile powtórzeń.
Film z metodą obliczania
„Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb”, Pi-stacja / Katalyst Education, pomaga przejść od wielokrotności do obliczeń. Przy przykładach sprawdzaj, czy wynik jest podzielny przez każdą z danych liczb.
Ćwiczenia
- Oblicz NWW(4, 6).
- Oblicz NWW(15, 20).
- Oblicz NWW(7, 21).
- Dwa sygnały brzmią razem o 14:20 i powtarzają się co 8 i 12 minut. Kiedy znów zabrzmią razem?
- Czy 60 jest najmniejszą wspólną wielokrotnością 6 i 10?
Odpowiedzi z kontrolą
1. 12. 2. 60. 3. 21. 4. O 14:44. 5. Nie, NWW(6, 10) = 30.
W zadaniu 4 rozkłady to 8 = 23 i 12 = 22 · 3. Wybieramy trzy dwójki i jedną trójkę, więc otrzymujemy 24 minuty. Dodajemy je do 14:20. Kontrola: 24 to trzy okresy po 8 minut i dwa okresy po 12 minut.
Wspólna wielokrotność przydaje się także przy dobieraniu mianownika do działań na ułamkach zwykłych. Nie oznacza to jednak, że w każdym takim rachunku trzeba koniecznie zaczynać od NWW.