Czy 735 dzieli się przez 5 bez reszty? Tak — wystarczy spojrzeć na ostatnią cyfrę. A przez 3? Tutaj sprawdzimy sumę cyfr. Cechy podzielności pozwalają ustalić, czy iloraz będzie liczbą całkowitą, bez wykonywania pełnego dzielenia. Nie podają natomiast samego ilorazu.
Co znaczy „podzielna przez”?
Liczba naturalna jest podzielna przez dodatnią liczbę naturalną, jeśli przy dzieleniu przez nią otrzymujemy resztę zero. Na przykład 42 jest podzielne przez 6, ponieważ 42 = 6 · 7. Liczba 43 nie jest podzielna przez 6: po wydzieleniu siedmiu szóstek zostaje 1.
Jeśli chcesz prześledzić wyznaczanie ilorazu i reszty, wróć do dzielenia pisemnego. Poniżej uczymy się krótszych testów dla wybranych dzielników.
Przez 2, 5, 10 i 100: sprawdź końcówkę
| Dzielnik | Warunek | Przykład |
|---|---|---|
| 2 | Cyfra jedności to 0, 2, 4, 6 lub 8 | 738 jest podzielne przez 2 |
| 5 | Cyfra jedności to 0 lub 5 | 1245 jest podzielne przez 5 |
| 10 | Cyfra jedności to 0 | 5830 jest podzielne przez 10 |
| 100 | Dwie ostatnie cyfry to 00 | 7200 jest podzielne przez 100 |
Dlaczego końcówka wystarcza? Liczbę 738 można rozdzielić na 730 + 8. Każda pełna dziesiątka dzieli się przez 2, więc o reszcie decyduje osiem jedności. Podobnie pełne dziesiątki są podzielne przez 5. Przy dzieleniu przez 100 liczy się to, czy poza pełnymi setkami pozostały dziesiątki lub jedności.
W razie wątpliwości przypomnij sobie wartości rzędów w liczbach wielocyfrowych. Zero na końcu i zero w środku nie odgrywają tej samej roli w tych testach.
Przez 4: weź liczbę z dwóch ostatnich cyfr
Liczba jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy liczba utworzona z jej dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4. Dla 2316 sprawdzamy 16. Ponieważ 16 = 4 · 4, cała liczba 2316 jest podzielna przez 4.
W liczbie 7304 końcówkę 04 odczytujemy jako 4. Ona także jest podzielna przez 4. Dla liczby jednocyfrowej sprawdzamy po prostu tę liczbę.
Wyjaśnienie opiera się na setkach: 2316 = 2300 + 16, a 2300 to 23 setki. Każda setka jest podzielna przez 4, ponieważ 100 = 4 · 25. Pozostaje więc sprawdzić resztę po odjęciu pełnych setek, czyli ostatnie dwie cyfry.
Parzystość nie wystarcza. Liczba 2318 jest podzielna przez 2, ale nie przez 4, bo 18 nie dzieli się przez 4 bez reszty.
Przez 3 i 9: dodaj cyfry
Liczba jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Dla dzielnika 9 stosujemy tę samą procedurę, ale sprawdzamy podzielność sumy przez 9.
Weźmy 5418. Suma cyfr wynosi 5 + 4 + 1 + 8 = 18. Liczba 18 dzieli się przez 3 i przez 9, więc 5418 również dzieli się przez obie te liczby. Z kolei 123 ma sumę cyfr 6: jest podzielne przez 3, ale nie przez 9.
Skąd ta własność? W 5418 zapis 5 · 1000 + 4 · 100 + 1 · 10 + 8 można rozdzielić na 5 · 999 + 4 · 99 + 1 · 9 oraz 5 + 4 + 1 + 8. Pierwsza część jest podzielna przez 9, a więc także przez 3. O wyniku testu decyduje druga część, czyli suma cyfr.
Nie stosuj sumy cyfr do dowolnego dzielnika. Dla 13 suma cyfr wynosi 4, ale samo 13 nie jest podzielne przez 4. Test działa w podanej postaci dla 3 i 9, nie zastępuje innych reguł.
Jedna liczba może spełniać kilka warunków
Dla 1260 ostatnia cyfra potwierdza podzielność przez 2, 5 i 10. Końcówka 60 potwierdza podzielność przez 4. Suma cyfr to 9, więc liczba jest także podzielna przez 3 i 9. Nie jest jednak podzielna przez 100, ponieważ nie kończy się dwoma zerami.
- Każda liczba podzielna przez 9 jest podzielna przez 3; odwrotne zdanie nie zawsze jest prawdziwe.
- Każda liczba podzielna przez 100 jest podzielna przez 10; nie każda podzielna przez 10 dzieli się przez 100.
- Podzielność przez 2 i 5 nie wystarcza do podzielności przez 100. Przykładem jest 30.
Sprawne liczenie w pamięci ułatwia dodawanie cyfr i kontrolę małych iloczynów. Testy przydadzą się też przy rozpoznawaniu liczb pierwszych i złożonych.
Film z ćwiczeniami
Materiał „Cechy podzielności liczb — ćwiczenia”, Pi-stacja / Katalyst Education, pomaga przećwiczyć wybór właściwego testu. Przed odpowiedzią nazwij, czy sprawdzasz ostatnią cyfrę, dwie ostatnie cyfry, czy sumę wszystkich cyfr.
Sprawdź samodzielnie
- Przez które liczby z zestawu 2, 3, 4, 5, 9, 10, 100 dzieli się 2340?
- Czy 5076 jest podzielne przez 4 i przez 9?
- Wstaw cyfrę w miejsce okienka, aby 43□ było podzielne przez 9.
- Podaj liczbę podzielną przez 3, ale nie przez 9.
- Czy 0 jest podzielne przez 5?
Odpowiedzi z uzasadnieniem
1. Przez 2, 3, 4, 5, 9 i 10. 2. Przez 4 tak, przez 9 tak. 3. Cyfra 2. 4. Na przykład 12. 5. Tak, ponieważ 0 = 5 · 0.
W zadaniu 2 końcówka 76 daje 76 : 4 = 19, a suma cyfr 5 + 0 + 7 + 6 = 18 jest podzielna przez 9. W zadaniu 3 suma znanych cyfr to 7. Po dodaniu szukanej cyfry suma może wynosić od 7 do 16. Jedyna wielokrotność 9 w tym zakresie to 9, dlatego brakuje 2.