Trzy dodatnie długości nie zawsze dają trójkąt. Odcinki muszą dać się połączyć w zamkniętą figurę, a nie tylko ułożyć w jednej linii. Warunek ten warto sprawdzać przed liczeniem pola lub szukaniem kątów.
Najdłuższy bok daje najszybszą kontrolę
Dla dodatnich a, b, c trójkąt istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych dwóch boków jest większa od trzeciego. Jeżeli wiemy, że c jest najdłuższy, wystarczy sprawdzić a + b > c; pozostałe dwie nierówności wynikają z dodatniości i kolejności.
Odcinki 3, 4 i 5 tworzą trójkąt, bo 3 + 4 > 5. Odcinki 2, 3 i 5 nie tworzą: suma dwóch krótszych dokładnie równa się najdłuższemu. Równość oznacza figurę zdegenerowaną, a w szkolnym zadaniu o trójkącie jest niedopuszczalna.
Dwa boki znane, trzeci do znalezienia
Dla boków 5 cm, 8 cm i x wymagamy jednocześnie x + 5 > 8 oraz 5 + 8 > x. Otrzymujemy 3 < x < 13. Trzeci warunek x + 8 > 5 jest tu spełniony, ponieważ x > 3.
Jeżeli x ma być liczbą całkowitą w centymetrach, dozwolone są 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12: dziewięć możliwości. Końców 3 i 13 nie włączamy. Zapisywanie takich zbiorów rozwija się przy nierównościach liniowych.
Ogólnie, przy danych dodatnich bokach a i b trzeci bok spełnia |a − b| < x < a + b. Dolne ograniczenie opisuje wartość bezwzględna różnicy, nie samą różnicę zapisaną w dowolnej kolejności.
Obwód nie zastępuje warunku
Trójkąt ma obwód 24 cm, a dwa boki 7 cm i 10 cm. Trzeci ma 24 − 7 − 10 = 7 cm. Dopiero kontrola 7 + 7 > 10 potwierdza, że taki trójkąt istnieje. Dla boków 2 cm i 3 cm przy tym samym obwodzie trzeci miałby 19 cm, co nie spełnia warunku.
Podobnie przed użyciem twierdzenia Pitagorasa trzeba wiedzieć, że rozpatrujemy trójkąt prostokątny. Nierówność trójkąta potwierdza istnienie, lecz sama nie ustala rodzaju kątów.
Parametr: nie zgaduj najdłuższego boku
Dane są długości x, x + 1 i 9. Przy x > 0 zapisujemy wszystkie trzy nierówności. Istotna okazuje się x + (x + 1) > 9, czyli x > 4; pozostałe dają 9 > 1 i 9 > −1. Zatem wystarczy x > 4. Nie założyliśmy z góry, że 9 jest zawsze najdłuższym bokiem.
- Ustal dodatniość długości.
- Porównaj sumę dwóch odcinków z trzecim, zachowując znak ostry.
- Dopiero na końcu uwzględnij dodatkowy warunek, np. całkowitość.
Sprawdź: jakie całkowite x pasują do boków 4, 6, x? Odpowiedź to 3–9, siedem wartości, ponieważ 2 < x < 10. Czy 4, 4, 8 jest trójkątem równoramiennym? Nie — równość dwóch długości nie naprawia braku warunku 4 + 4 > 8. Takie kontrprzykłady przydają się także w odróżnianiu przykładu od dowodu.
Uporządkuj liczby przed dodatkową klasyfikacją
Długości 6, 8 i 10 spełniają nierówność trójkąta, a dodatkowo 6² + 8² = 10². Dopiero to drugie sprawdzenie pozwala nazwać trójkąt prostokątnym. Dla 6, 8, 9 warunek istnienia również działa, lecz równość kwadratów już nie.
Jeżeli zadanie podaje „dwa boki mają 2 i 7, a obwód jest całkowity”, nie wynika stąd automatycznie całkowitość trzeciego boku bez sprawdzenia: tutaj rzeczywiście x = obwód − 9, więc warunek całkowitego obwodu ją wymusza. Połączenie założeń daje 5 < x < 9, a więc 6, 7 lub 8. Każdy z trzech kandydatów warto jeszcze podstawić do pierwotnego opisu.