Archives 2023

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa – historia

Wynalezienie twierdzenia Pitagorasa przypisuje się znanemu matematykowi który żył w VI w. p. n. e. Jednak do odkrycia tej zależności mianuje się Babilończyków którzy znali również dwa inne sposoby na to aby obliczyć przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym te sposoby znali również w Egipcie, Chinach i Indiach. Dzięki temu zadania z twierdzeniem Pitagorasa nie będą już dla nas problemem.

Twierdzenie Pitagorasa – definicja

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma długości boków przyprostokątnych podniesionych do kwadratu jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.
twierdzenie-pitagrorasa

Wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

wzór-twierdzenie-pitagorasa

Przykład zadania:

Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długościach 3 cm i 4 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? Rozwiązanie: Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Znając długości przyprostokątnych, możemy obliczyć długość przeciwprostokątnego: c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 3^{2} + 4^{2} c^{2} = 9 + 16 = 25 Więc, c = \sqrt{25} = 5. Odpowiedź: Przeciwprostokątna trójkąta ma długość 5 cm.

Logarytmy

Logarytmy

Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładnikowej. Oznacza to, że jeśli mamy daną liczbę podniesioną do pewnej potęgi i chcemy odwrócić ten proces, używamy logarytmu. W matematyce używamy różnych podstaw logarytmów, ale najczęściej spotykane to logarytmy o podstawie 10 (logarytmy dziesiętne) oraz o podstawie e (logarytmy naturalne).

Definicja logarytmu:

\log_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b, gdzie (a > 0), (a nie jest równa 1) oraz (b > 0).

Właściwości logarytmów:

\log_{a} (bc) = \log_{a} b + \log_{a} c

\log_{a} \left(\frac{b}{c}\right) = \log_{a} b - \log_{a} c

\log_{a} b^{c} = c \cdot \log_{a} b

\log_{a} 1 = 0

\log_{a} a = 1

\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}, dla dowolnej podstawy (c), gdzie (c > 0) i (c nie jest równe 1).

Logarytmy są kluczowe w wielu działach matematyki i fizyki. Mają zastosowanie w analizie matematycznej, teorii informacji, muzykologii, a także w naukach przyrodniczych.

Kombinacje

Kombinacje:

Kombinacja to wybór k-elementowego podzbioru z n-elementowego zbioru bez uwzględniania kolejności. Kombinacje odgrywają ważną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Wzór na kombinacje jest następujący:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Gdzie:

  • n! to silnia od liczby \( n \) i jest to iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do \( n \).
  • k! to silnia od liczby \( k \).
  • (n-k)! to silnia od różnicy \( n-k \).

Przykład: Jeśli mamy 5 książek i chcemy wybrać 3 z nich, aby je przeczytać, możemy to zrobić na \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10 różnych sposobów.

Mediana

mediana-nagłówek

Jak obliczyć medianę?

Mediana liczb z danego zbioru liczb to nic innego jak środkowa wartość zbioru tych liczb. Aby poprawnie wykonać obliczanie wartości mediany danego zbioru należy najpierw uporządkować w kolejności nie malejącej wszystkie liczby a następnie środkową wyznaczyć jako medianę. Jeśli nie ma środkowej liczby wtedy dwie środkowe liczby należy dodać i podzielić przez dwa. Wiec już wiesz że nie musisz znać jaki jest wzór na medianę

Przykłady:

mediana mediana2   mediana mediana

Wzór na pole i obwód koła

koło-naglówek

Własności koła:

    • Nieskończona ilość cięciw
    • Nieskończona ilość promieni
    • Możliwość wpisania figur geometrycznych
    • Możliwość opisania figur geometrycznych
    • Nie posiada kątów

Jak obliczyć pole koła?

Koło to wszechobecna figura którą znajdziemy wszędzie, w domu, w samochodzie. w szkole czy podwórku. Warto wiedzieć jak policzyć pole koła, liczenie pola koła nie jest trudnym zadaniem gdyż wystarczy znać prosty wzór który szybko i sprawie pozwoli nam obliczyć pole koła.

wzor-na-pole-kola

Wzór na pole koła:

wzór-na-pole-kola


Jak obliczyć obwód koła?

Obliczanie obwodu koła nie jest skomplikowanym zadaniem, wystarczy. że będziemy znać wzór na obwód koła, a że taki wzór jest tylko jeden na pewno nie będzie sprawiał problemu z zastosowaniem go do konkretnych zadań z kołem w roli głównej. Poniżej znajduje się wzór.

wzor-na-pole-kola

Wzór na obwód koła: wzór-na-obwód-kola

 

Wzór na pole i obwód trapezu

nagłówek-trapez

Własności trapezu:

    • Dwa boki równoległe nazywamy podstawami trapezu
    • Odcinek łączący dwie podstawy nazywany jest wysokością
    • Przynajmniej jedna para boków musi być równoległa
    • Suma miar wszystkich kątów wynosi 360 stopni

Rodzaje trapezów:

    • Trapez równoramienny
    • Trapez prostokątny
    • Trapez dowolny

Jak obliczyć pole trapezu?

Obliczenie pola trapezu nie jest trudnym zadaniem mimo na pierwszy rzut oka wzór wygląda na skomplikowany, to w tak naprawdę musimy podać tylko trzy parametry, takie jak dwie postawy oraz wysokość trapezu, a podstawiamy do tego wzoru poniżej. trapez

Wzór na pole trapezu:

wzor-na-pole-trapezu


Jak obliczyć obwód trapezu?

Obliczanie obwodu trapezu jest tak samo łatwe jak obliczanie obwodu kwadratu czy prostokąta. Mianowicie chodzi dodanie wszystkich boków do siebie i otrzymamy obwód trapezu.

trapez-obwód

Wzór na obwód trapezu:

wzór-na-obwód-rombu  

Wzór na pole i obwód trójkąta

nagłówek-trójkat

Własności trójkąta:

    • Suma miar kątów wewnętrznych równa 180 stopni
    • Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się, tworząc punkt który jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt
    • Symetralne boków przecinają się w punkcie który jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie

Rodzaje trójkątów podzielone względem boków:

Rodzaje trójkątów podzielone względem kątów:

    • Trójkąt prostokątny – jeden kąt ma miarę 90 stopni
    • Trójkąt ostrokątny – każdy kąt w tym trójkącie ma miarę mniejszą niz 90 stopni
    • Trójkąt rozwartokątny – jeden kąt posiada miarę większą niż 90 stopni

Jak obliczyć pole trójkąta?

Liczenie pola trójkąta nie jest trudnym zadaniem jeśli wiemy jaki jest wzór na pole trójkąta. Ale wzorów jest kilka, jak wiedzieć których z nich będzie dobry do konkretnego zadania? Trzeba wypisać wszystkie dane z zadania i dopasować właściwy.

trojkat-roznoramienny

Wzory na pole trójkąta:

wzór-na-pole-trojkata wzor-na-pole-trójkata-sinus

Jak obliczyć pole trójkąta równobocznego?

Obliczanie pola trójkąta równobocznego nie jest skomplikowaną czynnością gdyż wzór jest jeden, a parametr jaki trzeba znać to długość jednego z boków trójkąta.

wzór-na-pole-trojkata-rownobocznego

Wzór na pole trójkąta równobocznego: 

wzor-na-pole-trojkata-rownobocznego


Wzór na wysokość trójkąta równobocznego: 

wzor-na-wysokośc-trojkata


Jak obliczyć obwód trójkąta?

Aby policzyć obwód trójkąta trzeba skorzystać z podanego wzoru lub każdy bok dodać do siebie aby otrzymać obwód trójkąta.

trojkat-roznoramienny-obwod

Wzór na obwód trójkąta:

wzor-na-obwod-trojkata

Wzór na pole, objętość i przekątna sześcianu

Słysząc słowo sześcian zapewne wielu z was ma skojarzenia z kostką do gier przez niektórych nazywaną również kością do gry, przez co łatwo można sobie wyobrazić tą figurę przestrzenną. Sześcian jak sama nazwa mówi, posiada on sześć takich samych ścian przylegających do siebie, osiem wierzchołków oraz 12 krawędzi.

Własności sześcianu:

    • Posiada 6 ścian
    • Posiada 12 krawędzi
    • Posiada 8 wierzchołków
    • Wszystkie ściany są kwadratami tej samej wielkości
    • Sześcian jest prostopadłościanem
    • W sześcian da się wpisać kule
    • Na sześcianie da się opisać kule

Jak obliczyć pole sześcianu?

Obliczanie całkowitego pola sześcianu może na pierwszy rzut oka wydawać się bardzo skomplikowanym zadaniem, które jest do nie przeskoczenia dla osoby która nie jest wybitnie uzdolniona z matematyki (a może jesteś tylko o tym nie wiesz, bo nigdy się nie przykładałeś do jej nauki? Mam nadzieję, że ta strona rozbudzi w Tobie zapał do nauki.) Jednak ta czynność jaką jest obliczanie pola sześcianu jest podobnie prosta jak liczenie pola kwadratu.Wystarczy obliczyć pole jednego kwadratu a następnie pomnożyć przez 6. Lub podstawić dane do wzoru na wzór na pole sześcianu.

Wzór na pole sześcianu: 


Jak obliczyć objętość sześcianu?

Liczenie objętości sześcianu to nic innego jak obliczanie pojemności danej figury ile można do niej wlać cieczy. Nawet objętość wyrażamy w centymetrach sześciennych. Jeden litr cieczy to 1000 centymetrów sześciennych. Aby szybko obliczyć objętość sześcianu wystarczy skorzystać ze wzoru na objętość sześcianu, który znajdziesz poniżej.

Wzór na objętość sześcianu: 


Jak obliczyć przekątną sześcianu?

Obliczanie przekątnej sześcianu nie jest trudnym zadaniem jeśli znamy odpowiedni wzór na długość przekątnej sześcianu. Aby obliczyć długość wystarczy znać długość krawędzi sześcianu.

Wzór na przekątną sześcianu: 

Wzór na pole, obwód i przekątna kwadratu

kwadrat-nagłowek

Własności kwadratu:

    • Wszystkie boki równej długości
    • Wszystkie kąty tej samej miary, 90 stopni
    • Przekątne kwadratu są tej samej długości
    • Przekątne kwadratu przecinają się w połowie
    • Przekątne kwadratu przecinają się pod kątem prostym
    • Punkt przecięcia dwóch przekątnych jest środkiem okręgu wpisanego i opisanego na kwadracie

Jak obliczyć pole kwadratu?

Obliczanie pola kwadratu nie należy do bardzo skomplikowanych zadań, każdy powinien sobie z nim poradzić nawet laik w dziedzinie matematyki. Aby obliczyć pole kwadratu wystarczy długość jednego boku pomnożyć przez długość boku drugiego lub skorzystać z prostego wzoru na pole kwadratu.

kwadrat

Wzór na pole kwadratu:

WzórNaPoleKwadratu


Jak obliczyć obwód kwadratu?

Aby obliczyć obwód kwadratu nie trzeba mieć ogromnej wiedzy z matematyki, ponieważ liczenie obwodu jest banalnie proste. Jak wiemy kwadrat ma wszystkie boki równej długości oraz jest ich cztery, więc wystarczy pomnożyć długość boku przez 4 i otrzymamy obwód kwadratu, możemy również dodać wszystkie boki do siebie i również otrzymamy gotowy wynik. Jednak najprościej jest skorzystać z gotowego wzoru podanego poniżej.

kwadrat

Wzór na obwód kwadratu:

wzór na obwód kwadratu


Jak obliczyć przekątna kwadratu?

Liczenie przekątnej kwadratu nie będzie skomplikowanym zadaniem jeśli skorzystamy ze wzoru na przekątna kwadratu.

przekatna-kwadratu

Wzór na przekątną kwadratu:

wzór na przekatną kwadratu

Wzór na pole, obwód i przekątną prostokąta

PROSTOKĄT-NAGŁÓWEK

Własności prostokąta:

    • Prostokąt ma dwie pary boków tej samej długości
    • Wszystkie kąty tej samej miary, 90 stopni
    • Przekątne prostokąta są tej samej długości
    • Przekątne prostokąta dzielą się na połowę
    • Punkt przecięcia dwóch przekątnych jest środkiem okręgu opisanego na prostokącie

Jak obliczyć pole prostokąta?

Obliczanie powierzchni pola prostokąta nie jest trudnym zadaniem, znając regułę obliczania pól figur geometrycznych, wiemy, że aby otrzymać powierzchnie pole trzeba szerokość pomnożyć przez długość i o to w ten sposób otrzymamy pole powierzchni prostokąta. Możemy również skorzystać z gotowego wzoru na pole powierzchni prostokąta.

prostokątWzór na pole prostokąta:

wzór-na-pole-prostokąt


Jak obliczyć obwód prostokąta?

Liczenie obwodu prostokąta jest bardzo prostym zadaniem, osoba nawet nie znająca podstaw matematyki spokojnie sobie z nim poradzi. Najprostszym sposobem jest po prostu dodanie do siebie wszystkich boków lub skorzystania z gotowego wzoru na pole prostokąta

prostokąt

Wzór na obwód prostokąta:

WzórNaObwódProstokąta

Jak obliczyć przekątną prostokąta?

Przekątną prostokąta możemy liczyć na dwa sposoby. Długość przekątnej możemy policzyć z twierdzenia Pitagorasa gdyż przekątna dzieli go na dwa trójkąty prostokątne, lub skorzystać z gotowego wzoru na długość przekątnej prostokąta.

przekątnaprostokatu

Wzór na przekątną prostokąta: