wrzesień 2023 - matematicus.pl

Twierdzenie Pitagorasa – historia

Wynalezienie twierdzenia Pitagorasa przypisuje się znanemu matematykowi który żył w VI w. p. n. e. Jednak do odkrycia tej zależności mianuje się Babilończyków którzy znali również dwa inne sposoby na to aby obliczyć przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym te sposoby znali również w Egipcie, Chinach i Indiach. Dzięki temu zadania z twierdzeniem Pitagorasa nie będą już dla nas problemem.

Twierdzenie Pitagorasa – definicja

W dowolnym trójkącie prostokątnym suma długości boków przyprostokątnych podniesionych do kwadratu jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

Wzór na Twierdzenie Pitagorasa:

Przykład zadania:

Załóżmy, że mamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi o długościach 3 cm i 4 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? Rozwiązanie: Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa. Znając długości przyprostokątnych, możemy obliczyć długość przeciwprostokątnego: $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ $c^{2} = 3^{2} + 4^{2}$ $c^{2} = 9 + 16 = 25$ Więc, $c = \sqrt{25} = 5$ . Odpowiedź: Przeciwprostokątna trójkąta ma długość 5 cm.

Matematyka w szkole

Logarytmy

by Redakcja 10 września 2023

Logarytmy

Logarytm jest funkcją odwrotną do funkcji wykładnikowej. Oznacza to, że jeśli mamy daną liczbę podniesioną do pewnej potęgi i chcemy odwrócić ten proces, używamy logarytmu. W matematyce używamy różnych podstaw logarytmów, ale najczęściej spotykane to logarytmy o podstawie 10 (logarytmy dziesiętne) oraz o podstawie e (logarytmy naturalne).

Definicja logarytmu:

$\log_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b$ , gdzie (a > 0), (a nie jest równa 1) oraz (b > 0).

Właściwości logarytmów:

$\log_{a} (bc) = \log_{a} b + \log_{a} c$

$\log_{a} \left(\frac{b}{c}\right) = \log_{a} b - \log_{a} c$

$\log_{a} b^{c} = c \cdot \log_{a} b$

$\log_{a} 1 = 0$

$\log_{a} a = 1$

$\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ , dla dowolnej podstawy (c), gdzie (c > 0) i (c nie jest równe 1).

Logarytmy są kluczowe w wielu działach matematyki i fizyki. Mają zastosowanie w analizie matematycznej, teorii informacji, muzykologii, a także w naukach przyrodniczych.

Matematyka w szkole

Kombinacje

by Redakcja 10 września 2023

Kombinacje:

Kombinacja to wybór k-elementowego podzbioru z n-elementowego zbioru bez uwzględniania kolejności. Kombinacje odgrywają ważną rolę w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce. Wzór na kombinacje jest następujący:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Gdzie:

$n!$ to silnia od liczby $ n $ i jest to iloczyn wszystkich liczb całkowitych od 1 do $ n $.
$k!$ to silnia od liczby $ k $.
$(n-k)!$ to silnia od różnicy $ n-k $.

Przykład: Jeśli mamy 5 książek i chcemy wybrać 3 z nich, aby je przeczytać, możemy to zrobić na $\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10$ różnych sposobów.

Matematyka w szkole

Mediana

by Redakcja 10 września 2023

Jak obliczyć medianę?

Mediana liczb z danego zbioru liczb to nic innego jak środkowa wartość zbioru tych liczb. Aby poprawnie wykonać obliczanie wartości mediany danego zbioru należy najpierw uporządkować w kolejności nie malejącej wszystkie liczby a następnie środkową wyznaczyć jako medianę. Jeśli nie ma środkowej liczby wtedy dwie środkowe liczby należy dodać i podzielić przez dwa. Wiec już wiesz że nie musisz znać jaki jest wzór na medianę