Dwie przecinające się proste tworzą cztery kąty. Znając jeden z nich, często możesz obliczyć pozostałe bez przykładania kątomierza. Potrzebujesz dwóch rozróżnień: kąty obok siebie mogą być przyległe, a leżące naprzeciwko — wierzchołkowe. Rozpoznaj jednak układ ramion, zamiast kierować się wyłącznie położeniem napisów na rysunku.
Kąty przyległe: wspólne ramię i ramiona przeciwne
Dwa kąty są przyległe, gdy mają wspólny wierzchołek i jedno wspólne ramię, a pozostałe ramiona są półprostymi przeciwnymi. Te dwa kąty razem wypełniają kąt półpełny. Dlatego suma ich miar wynosi 180°.
Wybierz punkty A, O i B na jednej prostej tak, aby O leżał pomiędzy A i B. Poprowadź z O dodatkową półprostą OC poza tą prostą. Kąty AOC i COB są przyległe: mają wspólne OC, a OA i OB biegną w przeciwnych kierunkach.
C
●
│
A ●────O────● B
Schemat ma pokazać wspólną prostą i ramię, nie narzuca miar do obliczenia. Przy omawianiu dowolnego przykładu półprosta OC może być ukośna. Znaczenie półprostych przeciwnych wyjaśnia lekcja o podstawowych obiektach geometrycznych.
Nie wystarczy wspólny wierzchołek
Dwa kąty mogą leżeć obok siebie i mieć wspólne ramię, a mimo to nie być przyległe. Jeżeli ich zewnętrzne ramiona nie tworzą prostej, nie wolno zakładać sumy 180°. Również sama suma 180° nie rozstrzyga o przyległości: dwa kąty mogą być narysowane w zupełnie różnych miejscach.
Przed rachunkiem sprawdź więc warunki geometryczne. Dopiero potem użyj zależności. Gdy jeden kąt przyległy ma 67°, drugi ma 180° − 67° = 113°. Nie 67°, chyba że z układu wynika szczególny przypadek dwóch kątów prostych.
Kąty wierzchołkowe: naprzeciwko po przecięciu prostych
Przy przecięciu dwóch różnych prostych ramiona jednego kąta są przeciwne do odpowiednich ramion kąta leżącego po drugiej stronie wierzchołka. Takie kąty nazywamy wierzchołkowymi. Mają równe miary.
Nie są to dowolne kąty z tym samym wierzchołkiem. Przy dwóch przecinających się prostych wybieramy parę leżącą naprzeciwko, a nie parę sąsiednią. Wyjątkowo wszystkie cztery kąty są równe, jeśli proste są prostopadłe.
Dlaczego przeciwległe miary są równe? Oznaczmy trzy kolejne kąty przez α, β i γ. Pierwsza sąsiednia para daje α + β = 180°, druga β + γ = 180°. Po odjęciu β od obu równości otrzymujemy α = γ. Własność wynika z kątów przyległych, nie z dokładności rysunku.
Jeden dany kąt, cztery odpowiedzi
Jeśli jeden z czterech kątów przy przecięciu dwóch prostych ma 38°, kąt naprzeciwko też ma 38°. Dwa pozostałe mają po 180° − 38° = 142°. Idąc dookoła wierzchołka, otrzymujemy 38°, 142°, 38°, 142°.
Kontrola sumy: 38 + 142 + 38 + 142 = 360°. To suma miar czterech kolejnych kątów otaczających punkt bez nakładania się i luk. Nie jest to jednak zamiennik rozpoznania, które kąty są przyległe, a które wierzchołkowe.
Możesz zweryfikować przybliżony rysunek kątomierzem, lecz gdy dane określają dokładne zależności, wynik obliczamy z nich. Niedokładny szkic nie zmienia podanej miary 38°.
Kiedy w oznaczeniu pojawia się x?
Dwa kąty przyległe opisano jako x i 2x. Zapisujemy x + 2x = 180°, więc 3x = 180° i x = 60°. Miary wynoszą zatem 60° i 120°. Warunek został dobrany do przyległości: nie piszemy x = 2x tylko dlatego, że kąty mają wspólny wierzchołek.
Dla kątów wierzchołkowych opisanych jako x + 20° oraz 3x − 10° stosujemy równość: x + 20 = 3x − 10. Otrzymujemy x = 15, a obie miary wynoszą 35°. Litera x w tym rachunku oznacza liczbę stopni. Metodę przekształcania przypomina lekcja o równaniach liniowych.
- Przyległe: sprawdź wspólne ramię i ramiona przeciwne, następnie wykorzystaj sumę 180°.
- Wierzchołkowe: sprawdź przeciwne ramiona obu kątów, następnie wykorzystaj równość miar.
- Po obliczeniu podstaw wynik do wszystkich podanych wyrażeń i sprawdź sens miar.
Film o kątach przyległych
„Kąty przyległe”, Pi-stacja / Katalyst Education, uzupełnia pierwszą część lekcji. Potem wróć do naszego uzasadnienia, dlaczego z dwóch zależności o sumie 180° wynika równość kątów wierzchołkowych.
Ćwiczenia
- Jeden z kątów przyległych ma 124°. Oblicz drugi.
- Dwa kąty są wierzchołkowe. Jeden ma 73°. Ile ma drugi?
- Przy przecięciu dwóch prostych jeden kąt ma 105°. Podaj pozostałe trzy.
- Kąty przyległe mają miary x i 4x. Wyznacz obie miary.
- Dwa kąty narysowano w różnych punktach. Mają 40° i 140°. Czy muszą być przyległe?
Odpowiedzi
1. 56°. 2. 73°. 3. Naprzeciwko 105°, a dwa sąsiednie po 75°. 4. 36° i 144°. 5. Nie — nie mają wspólnego wierzchołka.
W zadaniu 4 mamy x + 4x = 180°, stąd x = 36°. Drugi kąt wynosi 4 · 36° = 144°. Sprawdzamy sumę 36° + 144° = 180° oraz zgodność z warunkiem, że drugi jest cztery razy większy od pierwszego.