Prosty szyfr literowy może posłużyć do ćwiczenia działań na resztach. Ustalimy własny alfabet i przepis, a potem sprawdzimy, czy każdą zaszyfrowaną literę da się jednoznacznie odzyskać. To zabawa matematyczna, nie sposób ochrony haseł lub prywatnych danych.
Umowa o alfabecie
Używamy 26 liter alfabetu łacińskiego bez polskich znaków: A ma numer 0, B — 1, …, Z — 25. Spacje pozostawiamy bez zmian. Do pierwszej próby wybierz słowo bez znaków diakrytycznych, żeby nie mieszać szyfrowania z dodatkową regułą zamiany liter.
Przepis ma postać y = reszta z dzielenia 5x + 8 przez 26. Litera wejściowa ma numer x, a wyjściowa y. Dodawanie i mnożenie opisuje funkcja podobna do funkcji liniowej, lecz tutaj wynik jest dodatkowo sprowadzany do jednego z numerów 0–25.
Zaszyfruj KOT
K odpowiada 10, więc 5·10 + 8 = 58. Po odjęciu 52, czyli 2·26, zostaje 6: G. O ma numer 14, a 5·14 + 8 = 78 daje resztę 0: A. T ma numer 19, więc 103 daje resztę 25: Z. Otrzymujemy GAZ.
Nie odczytujemy wyniku 58 jako „pięćdziesiątej ósmej litery”. Redukcja modulo 26 jest częścią definicji szyfru, a nie poprawką wykonywaną tylko wtedy, gdy zabraknie alfabetu.
Jak odwrócić przepis?
Ponieważ 5·21 = 105 = 4·26 + 1, liczba 21 odwraca mnożenie przez 5 w rachunku reszt modulo 26. Z numeru y odzyskujemy x jako resztę z dzielenia 21(y − 8) przez 26.
Dla G, czyli y = 6, mamy 21·(−2) = −42. Po dodaniu 52 otrzymujemy 10, a więc K. Dla A: −168 + 182 = 14, czyli O. Dla Z: 21·17 = 357, po odjęciu 338 zostaje 19, czyli T. Odczyt zgadza się z początkiem.
Nie każdy mnożnik pozwala odczytać tekst
Zastąpmy 5 przez 2. Wtedy A, o numerze 0, przechodzi na 8. N, o numerze 13, też przechodzi na 8, bo 2·13 + 8 = 34. Dwie litery dały ten sam wynik, więc odbiorca nie rozstrzygnie, którą wysłano. Przy alfabecie 26-elementowym mnożnik powinien być względnie pierwszy z 26; liczba 5 spełnia ten warunek, a 2 nie.
- Zapisz alfabet i numerację przed pierwszym rachunkiem.
- Po każdej operacji sprowadź wynik do przedziału 0–25.
- Sprawdź odszyfrowanie, nie tylko zaszyfrowanie.
- Szukaj kolizji, jeśli zmieniasz mnożnik.
Matematyczne tło rozwija lekcja o resztach z dzielenia, a przykład kolizji pokazuje, dlaczego jeden kontrprzykład może obalić tezę o jednoznacznym odczycie. Sam szyfr ma mało możliwych kluczy i zachowuje wzorce tekstu; nie używaj go jako zamiennika współczesnych narzędzi bezpieczeństwa.
Bardziej codzienne zastosowanie podobnego rachunku to obliczanie dnia tygodnia. Moduł 7 zastępuje wtedy 26 liter, a pełne tygodnie nie zmieniają nazwy dnia.