Redakcja, Autor w serwisie matematicus.pl

Bez kategorii

Ułamki dziesiętne zapisujemy w postaci cyfr z przecinkiem. Takie ułamki są często stosowane w oznaczaniu pojemności zbiorników, butelek lub innych naczyń do których nalewana jest ciecz. Stosuje się również w podawaniu wagi produktów. Taki ułamek można łatwo zamienić na ułamek zwykły

Jak dodawać ułamki dziesiętne?

Dodawanie ułamków dziesiętnych nie jest trudnym zadaniem, proste ułamki z łatwością może obliczyć w pamięci. Natomiast te trudniejsze możemy obliczyć pisemnie, jednak należy pamiętać aby poprawnie zapisać pod sobą tzn. tak aby przecinek był pod przecinkiem.

Jak odejmować ułamki dziesiętne?

Odejmowanie ułamków dziesiętnych tak jak w dodawaniu, łatwiejsze przykłady możemy obliczać w pamięci a te trudniejsze pisemnie i również należy zastosować się do rady którą podałem przy dodawaniu.

Jak mnożyć ułamki dziesiętne?

Mnożenie ułamków dziesiętnych nieco różni się od odejmowania czy dodawania. Tutaj dwie cyfry trzeba zapisać pod sobą jedna za drugą wyrównując je prawej strony, nie zwracając uwagi na przecinek.

Jak dzielić ułamki dziesiętne?

Dzielenie ułamków dziesiętnych wykonuje się tak samo jak dzielenie liczb całkowitych pisemnie. Dlatego aby zacząć dzielić ułamki należy najpierw przypomnieć sobie jak dzieli się liczby całkowite.

Bez kategorii

Ułamki zwykłe

by Redakcja 9 grudnia 2019

Ułamki zwykłe dość często są spotykane w każdym dziale matematyki. Dlatego warto przyłożyć się do tego działu i opanować w bardzo dobrym stopniu tę umiejętność. Ułamki zwykłe oraz ułamki dziesiętne umożliwiają nam zapis dowolnej części liczby. Każdy ułamek składa się z licznika, mianownika oraz kreski ułamkowej która również jest stosowana jako znak dzielenia. Poniżej znajdziesz informację oraz przykłady jak poprawnie dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić, sprowadzać do wspólnego mianownika, skracać i rozszerzać ułamki zwykłe.

Jak dodawać ułamki zwykłe?

Dodawanie ułamków zwykłych nie jest trudną rzeczą i wystarczy kilka minut by zrozumieć o co w tym chodzi. Zasada jest prosta, ułamki muszą mieć taki sam mianownik, jeśli mianowniki są różne najpierw należy sprowadzić do wspólnego mianownika. A następnie licznik dodać do licznika a mianownik przepisać bez zmian.

Dodawanie ułamków o takim samym mianowniku:

$\frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

$\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\frac{1}{15} + \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$

Dodawanie ułamków z różnym mianowniku:

$\frac{1}{7} + \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 6}{7\cdot 6}+ \frac{2\cdot 7}{6\cdot 7} = \frac{6}{42} + \frac{14}{42}= \frac{20}{42}$

$\frac{3}{20} + \frac{8}{10}= \frac{3}{20}+ \frac{8\cdot 2}{10\cdot 2} = \frac{3}{20}+ \frac{16}{20} = \frac{19}{20}$

Jak odejmować ułamki zwykłe?

Odejmowanie ułamków zwykłych jak i dodawanie polega na tym samym. Czyli patrzymy na mianowniki czy są takie same, jeśli nie, należy sprowadzić je do wspólnego mianownika. A następnie odjąć liczniki a mianownik przepisać bez zmian.

$\frac{2}{3}- \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$

$\frac{6}{10}- \frac{1}{5} = \frac{6}{10} - \frac{1\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10} -\frac{2}{10} =\frac{4}{10}$

$\frac{2}{4}- \frac{2}{7} = \frac{2\cdot 7}{4\cdot 7} - \frac{2\cdot 4}{7\cdot 4}=\frac{14}{28} -\frac{8}{28} =\frac{6}{28}$

Jak mnożyć ułamki zwykłe?

Mnożenie ułamków zwykłych wygląda już nieco inaczej niż w przypadku dodawania czy odejmowania, tutaj już nie trzeba sprowadzać do wspólnego mianownika. Wystarczy, że pomnożymy licznik przez licznik a mianownik przez mianownik i otrzymasz gotowy wynik.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{30}$

$\frac{4}{9} \cdot \frac{2}{4} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

$4 \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{7}$

$4\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{13}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{13}{21}$

Jak dzielić ułamki zwykłe?

Dzielnie ułamków zwykłych cechuję się jeszcze inną zasada chociaż bazuje na mnożeniu ułamków zwykłych. Ta zasada mówi o tym by dzielnie zamienić na mnożenie a następnie drugi ułamek odwrócić czyli licznik zamienić z mianownikiem.

$\frac{1}{5} : \frac{3}{5} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5}{15} =\frac{1}{3}$

$\frac{4}{5} : 4 = \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{1} = \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4} =\frac{4}{20} =\frac{1}{5}$

$4\frac{4}{5} : 3 = \frac{24}{5} : \frac{3}{1} = \frac{24}{5}\cdot \frac{1}{3} =\frac{24}{15} =1\frac{9}{15}$

Jak sprowadzać do wspólnego mianownika?

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika nie należy do trudnych czynności, wystarczy rozszerzyć ułamek do odpowiedniej liczby, rozszerzając ułamek nie powodujemy zmianę wartości tego ułamka. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika najczęściej stosuje się w dodawaniu lub odejmowaniu ułamków zwykłych.

$\frac{1}{7} + \frac{2}{6} = \frac{1\cdot 6}{7\cdot 6}+ \frac{2\cdot 7}{6\cdot 7} = \frac{6}{42} + \frac{14}{42}$

$\frac{3}{20} + \frac{8}{10}= \frac{3}{20}+ \frac{8\cdot 2}{10\cdot 2} = \frac{3}{20}+ \frac{16}{20}$

Jak skracać ułamki?

Skracanie ułamków nie jest trudną rzeczą ale trzeba znać tabliczkę mnożenia a nawet bardziej dzielenia, ale jak każdy wie, że mnożenie to odwrotność dzielenia. Po co skracać ułamki? Skracanie ułamków często nam upraszcza liczenie, często trzycyfrowe ułamki da się skrócić do jedno cyfrowych ułamków, a jak wiadomo takie łatwiej liczyć.

$\frac{6}{16} = \frac{6:2}{16:2} =\frac{3}{8}$

$\frac{25}{35} = \frac{25:5}{35:5} =\frac{5}{7}$

$\frac{100}{10000} = \frac{100:100}{10000:100} =\frac{1}{100}$

Jak rozszerzać ułamki zwykłe?

Rozszerzanie ułamków zwykłych stosuje się w dodawaniu i odejmowanie ułamków zwykłych. Rozszerzanie ułamków to przede wszystkim zwiększenie liczby ułamku ale nie zmieniając jego wartości.

Rozszerzenie ułamków do 8 w mianowniku:

$\frac{1}{2} = \frac{1\cdot 4}{4\cdot 2} = \frac{4}{8}$

$\frac{3}{4} = \frac{3\cdot 2}{4\cdot 2} = \frac{6}{8}$

Rozszerzenie ułamków do 15 w mianowniku:

$\frac{1}{5} = \frac{1\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{3}{15}$

$\frac{1}{3} = \frac{1\cdot 5}{3\cdot 5} = \frac{5}{15}$

Obejrzyj lekcje wideo. Przykłady, rozwiązywanie zadań z komentarzem oraz przytadtne informacje o ułamkach zwykłych.

Bez kategorii

Pierwiastkowanie

by Redakcja 9 grudnia 2019

Pierwiastkowanie to odwrotność potęgowania. Wiec jak się wykonuje pierwiastkowanie? Otóż pierwiastkowanie to szukanie liczby która podniesiona do potęgi drugiej da nam liczbę pod pierwiastkiem.

Działania na pierwiastkach

Działania na pierwiastkach to skomplikowany temat ale dzięki wzorom i przykładom podanym poniżej poznasz zasady takie jak: dodawanie pierwiastków, mnożenie pierwiastków, dzielenie pierwiastków lub potęgowanie pierwiastków

Wzory używane w pierwiastkowaniu:

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$

Blog

Potęgowanie

by Redakcja 9 grudnia 2019

Potęgowanie liczb to inny, krótszy sposób zapisu mnożenia tej samej liczby przez siebie. Działania na potęgach mogą sprawić problemu nie jednemu uczniowi. Wzorów stosowanych w potęgowaniu jest sporo. Pamiętaj, że wszystkie wzory będziesz miał na karcie wzorów podczas matury. Dzięki temu dodawanie potęg, potęgowanie ułamków zwykłych czy mnożenie potęg nie będzie problemem. Dzięki tym wzorom potęga o wykładniku wymiernym nie będzie problemem.

Wzory na potęgowanie liczb

$a^{0} = 1$

$a^{1} = a$

$a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}$

$(\frac{a}{b})^{-x} =(\frac{b}{a})^{x}$

$a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$

$a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}$

$a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}$

$\frac{a^{x}}{a^{y}}= a^{x-y}$

$(a^{x})^{y} = a^{x\cdot y}$

$(a\cdot b)^{x} =a^{x}\cdot b^{x}$

$(\frac{a}{b})^{x}= \frac{a^{x}}{b^{x}}$

Bez kategorii

Średnia ważona

by Redakcja 9 grudnia 2019

srednia-wazona-wzor

Średnia ważona liczb służy do liczenia średniej liczb jednakże z tą różnicą miedzy średnią arytmetyczną a średnią ważoną jest przede wszystkim taka ze w średniej ważonej w głównej mierze najważniejsza jest waga samej liczby. Zastosowanie ma to w wielu aspektach życia, ja jednak przytoczę prosty przykład do czego należy używać średniej ważonej. Za pomocą średniej ważonej liczb możemy oblicz średnią ocen z matematyki. Jak wiemy oceny ze sprawdzianów są ważniejsze niż oceny z pracy domowej lub oceny z kartkówek. I właśnie w tym przypadku średnia ważona ocen znajduje idealne zastosowanie.

Jak obliczyć średnią ważoną?

Obliczanie średniej ważonej najłatwiej obliczyć za pomocą wzoru na średnią ważoną. Wystarczy znać wartość liczb oraz ich wagę a następnie podstawić do wzoru poniżej. Wzór może wydawać się skomplikowany lecz jak zaczniemy podstawiać wszystko nam się szybko wyjaśni i okaże, że ten wzór jest bardzo prosty w zastosowaniu i liczeniu.

Wzór na średnią ważoną:

srednia-ważona

Bez kategorii

Średnia arytmetyczna

by Redakcja 9 grudnia 2019

srednia-arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb nazywamy sumę liczb danego zbioru podzielonych przez liczbę cyfr w danym zbiorze. Średnia arytmetyczna jest najpopularniejszym określeniem wielkości populacji czy średniej ocen z matematyki. Za pomocą średniej możemy określić średnią krajową pensję lub np. średnią cenę jabłek za rok 2018. Pamiętajcie jednak, że średnia arytmetyczna nie zawsze do końca jest prawdziwa jeśli liczby w danym zbiorze nie są równomierne rozłożone.

Jak obliczyć średnią arytmetyczną?

Średnia arytmetyczną możemy obliczyć na dwa sposoby, albo skorzystać z podanego poniżej wzoru na średnią arytmetyczną lub dodać wszystkie liczby do siebie i podzielić je przez liczbę wyrazów w tym zbiorze.

Wzór na średnią arytmetyczną:

wzór-na-srednia-arytmetyczne

Matematyka w szkole

Procenty

by Redakcja 9 grudnia 2019

Procenty są jednym z najbardziej wszechstronnych i użytecznych narzędzi matematycznych, które można spotkać na różnych etapach nauki. Od podstawowej szkoły po studia wyższe, procenty są używane do opisu różnych zjawisk, od ocen w szkole po analizę danych finansowych. Procent, który oznacza „na sto”, jest sposobem wyrażenia liczby jako ułamek z mianownikiem 100. Na przykład, 25% to równoważne ułamkowi 25/100 lub dziesiętnemu 0,25.

Podstawowe zadania z procentami:

$\text{Zadanie 1: Oblicz 15\% liczby 200}$

Sposób rozwiązania: $15\% \times 200 = \frac{15}{100} \times 200 = 30$

$\text{Zadanie 2: Cena produktu wynosiła 100 zł. Cena została obniżona o 20\%. Ile wynosi nowa cena?}$

Sposób rozwiązania: $\text{Obniżka} = 20\% \times 100 \text{ zł} = 20 \text{ zł}$ $\text{Nowa cena} = 100 \text{ zł} - 20 \text{ zł} = 80 \text{ zł}$

$\text{Zadanie 3: Jaka jest wartość 40\% liczby 250?}$

Sposób rozwiązania: $40\% \times 250 = \frac{40}{100} \times 250 = 100$

Te zadania to tylko wierzchołek góry lodowej, jeśli chodzi o możliwości wykorzystania procentów w matematyce. Są one używane w statystyce, naukach przyrodniczych, finansach i wielu innych dziedzinach. Zrozumienie, jak działa procent, otwiera drzwi do głębszego zrozumienia wielu innych zagadnień matematycznych.

Matematyka w szkole

Potęgowanie

by Redakcja 9 grudnia 2019

Potęgi są jednym z fundamentalnych pojęć w matematyce, umożliwiającym skrócony zapis operacji mnożenia tego samego wyrażenia przez siebie określoną liczbę razy. Choć samo pojęcie może wydawać się prostą koncepcją, stanowi kluczowy element w różnych dziedzinach matematyki, nauk ścisłych i inżynierii.