Archives grudzień 2019

Matematyka w szkole

Procenty

by Redakcja

Procenty są jednym z najbardziej wszechstronnych i użytecznych narzędzi matematycznych, które można spotkać na różnych etapach nauki. Od podstawowej szkoły po studia wyższe, procenty są używane do opisu różnych zjawisk, od ocen w szkole po analizę danych finansowych. Procent, który oznacza „na sto”, jest sposobem wyrażenia liczby jako ułamek z mianownikiem 100. Na przykład, 25% to równoważne ułamkowi 25/100 lub dziesiętnemu 0,25.

Podstawowe zadania z procentami:

\text{Zadanie 1: Oblicz 15\% liczby 200}

Sposób rozwiązania: 15\% \times 200 = \frac{15}{100} \times 200 = 30

\text{Zadanie 2: Cena produktu wynosiła 100 zł. Cena została obniżona o 20\%. Ile wynosi nowa cena?}

Sposób rozwiązania: \text{Obniżka} = 20\% \times 100 \text{ zł} = 20 \text{ zł} \text{Nowa cena} = 100 \text{ zł} - 20 \text{ zł} = 80 \text{ zł}

\text{Zadanie 3: Jaka jest wartość 40\% liczby 250?}

Sposób rozwiązania: 40\% \times 250 = \frac{40}{100} \times 250 = 100

Te zadania to tylko wierzchołek góry lodowej, jeśli chodzi o możliwości wykorzystania procentów w matematyce. Są one używane w statystyce, naukach przyrodniczych, finansach i wielu innych dziedzinach. Zrozumienie, jak działa procent, otwiera drzwi do głębszego zrozumienia wielu innych zagadnień matematycznych.

Matematyka w szkole

Potęgowanie

by Redakcja

Potęgi są jednym z fundamentalnych pojęć w matematyce, umożliwiającym skrócony zapis operacji mnożenia tego samego wyrażenia przez siebie określoną liczbę razy. Choć samo pojęcie może wydawać się prostą koncepcją, stanowi kluczowy element w różnych dziedzinach matematyki, nauk ścisłych i inżynierii.

Definicja potęgi:

Jeżeli  a  jest liczbą rzeczywistą, a n liczbą całkowitą dodatnią, potęgą n liczby a nazywamy
iloczyn  n czynników  a:

a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ razy}}

Przykłady:

Przykład 1:

2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

Przykład 2:

5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125

Właściwości potęg:

Potęgi mają kilka ciekawych właściwości, które upraszczają obliczenia. Oto kilka z nich:

a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Wzory skróconego mnożenia:

Wzory skróconego mnożenia są bardzo przydatne przy obliczeniach związanych z potęgami. Oto kilka z nich:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

(a+b)^{2} = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^{2} = a^2 - 2ab + b^2

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

Zrozumienie tych reguł i umiejętne ich zastosowanie znacząco przyspiesza rozwiązywanie różnego rodzaju problemów matematycznych.