Archives wrzesień 2026

Nierówność liniową przekształcamy podobnie jak równanie, ale przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Samo odejmowanie tego nie powoduje. Pokażemy, skąd wynika ta reguła, jak stosować ją przy nawiasach i ułamkach oraz jak zapisać wszystkie dopuszczalne wartości niewiadomej w postaci przedziału.

Rozwiązaniem jest zbiór liczb, nie jedna liczba

Zapis oznacza wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od 4, na przykład 3, 0 czy −7. Sama liczba 4 nie spełnia tego warunku. Natomiast obejmuje także 4. Znaki < i > opisują nierówności ostre, a i pozwalają na równość obu stron.

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać jako porównanie wyrażenia ax + b z liczbą, gdzie współczynnik a jest różny od zera. W zadaniach mogą występować nawiasy i ułamki; po uproszczeniu zależność nadal jest liniowa, jeżeli x nie pojawia się w potędze innej niż pierwsza ani w mianowniku.

Celem przekształceń jest otrzymanie prostego warunku na x przy zachowaniu dokładnie tego samego zbioru rozwiązań. Możesz dodawać i odejmować tę samą wielkość po obu stronach, tak jak przy równaniach liniowych z jedną niewiadomą. Różnica dotyczy działania liczb ujemnych na kolejność liczb.

Kiedy odwracamy znak nierówności?

Weź prawdziwą nierówność . Pomnożenie obu stron przez 3 daje : kolejność jest taka sama. Jeśli jednak pomnożysz obie strony przez −3, otrzymasz liczby −6 i −15. Teraz −6 jest większe od −15, więc poprawny zapis to .

Mnożenie przez liczbę ujemną zamienia kolejność liczb na osi. Dlatego znak < zmieniamy na >, znak > na <, a na i odwrotnie. Dzielenie przez liczbę ujemną działa tak samo, bo jest mnożeniem przez jej ujemną odwrotność. Równość pozostaje możliwa, więc nie zmieniamy nierówności nieostrej w ostrą.

Działanie po obu stronach	Co ze znakiem?	Przykład
Dodanie lub odjęcie tej samej liczby	Zostaje bez zmiany	, więc po odjęciu 3
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę dodatnią	Zostaje bez zmiany	, więc po pomnożeniu przez 2
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną	Odwracamy kierunek	, więc po pomnożeniu przez −1
Dzielenie przez zero	Niedozwolone	Nie wykonujemy tego działania

Mnożenie przez zero także nie służy do równoważnego przekształcania nierówności: usuwa informację o x. Nie wolno ponadto dzielić obu stron przez wyrażenie zawierające x bez ustalenia jego znaku i sprawdzenia, czy nie jest zerem. W przykładach liniowych poniżej dzielimy wyłącznie przez znane, niezerowe liczby.

W lekcji Khan Academy po polsku zobaczysz nierówność z ułamkami, zmianę znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną oraz zaznaczenie odpowiedzi na osi.

Przykład z liczbą ujemną i nawiasem

Rozwiążmy nierówność . Odejmujemy 4 po obu stronach i otrzymujemy . To odejmowanie nie zmienia kierunku nierówności. Dopiero dzielenie przez −3 wymaga jego odwrócenia:

Sprawdźmy dwie liczby. Dla x równego −3 lewa strona początkowej nierówności wynosi 13, więc warunek 13 ≥ 10 jest prawdziwy. Dla x równego 0 lewa strona wynosi 4, a 4 ≥ 10 jest fałszywe. Liczba −2 daje równość 10 = 10, dlatego należy do odpowiedzi.

Teraz przykład z nawiasem: . Mnożymy oba składniki nawiasu przez −2, otrzymując , czyli . Po odjęciu 3 mamy , a po podzieleniu przez −2:

Usunięcie nawiasu samo w sobie nie odwraca znaku nierówności: tylko zastępujemy wyrażenie równym mu wyrażeniem. Błąd często polega na zapisie −2x + 2 zamiast −2x − 2. Jeżeli gubisz się przy minusie przed nawiasem, sprawdź kolejność wykonywania działań i rozpisuj mnożenie każdego składnika.

Ułamki: wybierz dodatni wspólny mianownik

W nierówności z liczbowymi mianownikami możesz pozbyć się ułamków, mnożąc obie strony przez ich dodatnią wspólną wielokrotność. Nie zmieniasz wtedy kierunku nierówności. Dla przykładu:

Wybieramy 6. Mnożymy przez tę liczbę każdy składnik, również jedynkę po prawej stronie. Powstaje . Po otwarciu nawiasów otrzymujemy , następnie i . Teraz dzielimy przez −1, więc:

Dla liczby granicznej −14 początkowa lewa strona wynosi −5 − (−6), czyli 1. Dla x równego 0 wynosi −1/3 − 1 = −4/3, więc nierówność jest prawdziwa. Dla x równego −20 daje −7 − (−9) = 2, co nie spełnia warunku. Te trzy podstawienia kontrolują granicę i obie strony przedziału.

Nie skracaj sumy przez usunięcie jednego składnika licznika i mianownika. W wyrażeniu mianownik dzieli cały licznik. Nawiasy po usunięciu ułamków przypominają, że wszystkie jego składniki trzeba przemnożyć. Jeśli mianownik zawiera niewiadomą, zadanie wymaga innych zasad i nie jest przykładem omawianego tu typu.

Przedział i zaznaczenie odpowiedzi na osi

Warunek zapisujemy jako . Nawias kwadratowy przy −2 oznacza, że ta liczba należy do zbioru. Na osi stawiamy przy niej pełny punkt i zaznaczamy wszystkie liczby na lewo.

Dla odpowiedni zapis to . Przy −3 stawiamy pusty punkt i zaznaczamy liczby na prawo. Z kolei daje : pełny punkt przy −14 i zaznaczenie w prawo. Używamy tutaj średnika do oddzielania końców przedziału; niektóre podręczniki stosują przecinek lub inne oznaczenia domknięcia.

Nieskończoność nie jest liczbą, którą można podstawić za x. Przy symbolach nieskończoności zawsze piszemy nawias okrągły. Przedział zawiera wszystkie liczby rzeczywiste spełniające warunek, również ułamki i liczby niewymierne. Nie ograniczaj zaznaczenia do kolejnych liczb całkowitych, chyba że zadanie wyraźnie wymaga takiej dziedziny.

Co zrobić, gdy niewiadoma znika?

W zadaniu z wyrażeniami liniowymi współczynniki przy x mogą się zredukować. Dla dostajemy , a po odjęciu 2x: . To prawda niezależnie od wartości x. Odpowiedzią jest cały zbiór liczb rzeczywistych, o ile nie podano dodatkowych ograniczeń.

Natomiast prowadzi do . To zdanie fałszywe, więc żadna liczba rzeczywista nie spełnia początkowej nierówności. Zbiór rozwiązań jest pusty, oznaczamy go . W obu przypadkach nie próbujemy dzielić przez współczynnik 0 przy x.

• Po uproszczeniu sprawdź, czy wyraz z x nadal występuje.
• Przed dzieleniem zapisz znak dzielnika; dla ujemnego odwróć nierówność.
• Oceń, czy granica należy do odpowiedzi: znaki nieostre ją obejmują.
• Sprawdź liczbę z przedziału, liczbę spoza niego i granicę.

Do ćwiczenia rozwiąż . Po odjęciu 7 otrzymasz , a po podzieleniu przez −2: , czyli . Liczba 3 daje równość, więc jest wykluczona. Przy każdym następnym przekształceniu nazwij wykonywane działanie: to pozwoli odróżnić zwykłe odejmowanie od dzielenia przez liczbę ujemną.

W zadaniu tekstowym najtrudniejsze bywa nie obliczenie wyniku, lecz zapisanie właściwego równania. Trzeba ustalić, co oznacza niewiadoma, opisać pozostałe wielkości i znaleźć zależność, która je łączy. Na przykładach zakupów, wieku i prostokąta pokażemy, jak przejść od zdania do równania oraz sprawdzić, czy otrzymana liczba rzeczywiście odpowiada na pytanie.

Najpierw ustal, czego szukasz

Przeczytaj całą treść, zanim zaczniesz liczyć. Wypisz dane wraz z jednostkami i zaznacz pytanie. Jeżeli zadanie dotyczy ceny zeszytu, niech x oznacza cenę jednego zeszytu w złotych. Zapis „x — zeszyt” jest nieprecyzyjny: niewiadoma oznacza liczbę opisującą wielkość, a nie przedmiot.

W prostych zadaniach wystarczy jedna niewiadoma nawet wtedy, gdy szukasz dwóch wartości. Jeśli jeden odcinek jest o 4 cm dłuższy od drugiego, krótszy możesz oznaczyć przez x, a dłuższy przez . Nie musisz wprowadzać drugiej litery. Ten sposób zapisu korzysta z wyrażeń algebraicznych, które opisują wielkości zależne od wybranej niewiadomej.

Od razu określ również dopuszczalne wartości. Liczba zakupionych zeszytów musi być całkowita i nieujemna, a długość boku dodatnia. Cena może zawierać część ułamkową. Takie ograniczenia wynikają z treści, nie z samego równania. Dzięki nim później rozpoznasz wynik, który daje poprawne rachunki, ale nie pasuje do sytuacji.

Jak zamienić zależności słowne na wyrażenia?

Podobnie brzmiące zwroty mogą oznaczać inne działania. „O 3 więcej” opisuje dodawanie, a „trzy razy tyle” mnożenie. Nie wybieraj działania na podstawie jednej wyrwanej frazy. Sprawdź, której wielkości dotyczy porównanie i która jest punktem odniesienia.

Opis zależności	Zapis przy wielkości x	Co oznacza?
O 3 więcej		Dodajemy 3 do wartości x.
O 3 mniej		Od wartości x odejmujemy 3.
Trzy razy tyle		Bierzemy trzykrotność x.
Połowa wartości		Dzielimy x przez 2.
O 3 więcej niż podwojona wartość		Najpierw podwajamy x, potem dodajemy 3.

Nawias pozwala odróżnić kolejność działań. Podwojenie liczby zwiększonej wcześniej o 3 to , a nie . Dla x równego 5 pierwsze wyrażenie ma wartość 16, drugie 13. Taka próba z prostą liczbą pomaga wykryć błędny zapis jeszcze przed układaniem równania.

Równanie powstaje dopiero wtedy, gdy wskażesz dwie równe wielkości: sumę kosztów i kwotę zapłaty, sumę długości i obwód albo dwie wartości tego samego wieku. Samo wyrażenie nie zawiera jeszcze informacji, ile wynosi opisany koszt.

Lekcja Pi-stacji / Katalyst Education pokazuje wybór niewiadomej, zapis zależności i sprawdzenie odpowiedzi na przykładach zadania o wycieczce oraz liczbie zwierząt.

Zakupy: od ceny jednostkowej do całego rachunku

Przykład hipotetyczny: trzy jednakowe zeszyty i długopis za 6 zł kosztowały razem 27 zł. Ile kosztował jeden zeszyt? Niech x oznacza jego cenę w złotych. Trzy zeszyty kosztują 3x zł, a cały zakup 3x + 6 zł. Ten koszt ma być równy 27 zł, więc zapisujemy:

Po odjęciu 6 od obu stron otrzymujemy , a po podzieleniu przez 3: . Sprawdzamy treść: trzy zeszyty po 7 zł kosztują 21 zł; po doliczeniu długopisu otrzymujemy 27 zł. Odpowiedź brzmi: jeden zeszyt kosztował 7 zł. Sama liczba 7 nie mówi jeszcze, co wyznaczyliśmy.

Uważaj na rozróżnienie liczby przedmiotów i ich ceny. Gdy pytanie dotyczy liczby zeszytów, x powinno oznaczać ich liczbę, a znana cena będzie współczynnikiem przy x. W tym przykładzie jest odwrotnie: liczba zeszytów jest podana, a cenę trzeba znaleźć. Nie dopisuj wszystkich liczb z treści do jednego działania tylko dlatego, że występują w zadaniu.

Jeśli zapis zależności jest poprawny, ale przekształcenia sprawiają trudność, przećwicz rozwiązywanie równań liniowych z jedną niewiadomą. Tutaj najważniejsze pozostaje uzasadnienie, dlaczego lewa i prawa strona równania opisują tę samą kwotę.

Wiek: wszystkie osoby muszą być w tym samym momencie

Przykład hipotetyczny: siostra jest o 6 lat starsza od brata. Za 4 lata będzie miała dwa razy tyle lat co brat. Ile lat ma obecnie brat? Przyjmujemy, że x oznacza jego obecny wiek w latach. Obecny wiek siostry to x + 6, za 4 lata brat będzie miał x + 4, a siostra x + 10.

Porównanie „dwa razy tyle” dotyczy ich wieku za 4 lata. Otrzymujemy zatem:

Usuwamy nawias: . Odejmujemy x i 8 od obu stron, co daje . Brat ma teraz 2 lata, a siostra 8. Za 4 lata będą mieli 6 i 12 lat: 12 jest dwa razy większe od 6, a różnica wieku nadal wynosi 6 lat.

Błędne równanie porównywałoby obecny wiek siostry z przyszłym wiekiem brata. Każde wyrażenie jest osobno zrozumiałe, ale zestawienie ich znakiem równości nie oddaje warunku zadania. Przy takich przykładach podpisz obok wyrażeń „teraz” i „za 4 lata”; sprawdzisz wtedy, czy nie mieszasz dwóch momentów.

Prostokąt: opisz boki, zanim zapiszesz obwód

Przykład hipotetyczny: prostokąt ma obwód 38 cm, a dłuższy bok jest o 5 cm dłuższy od krótszego. Oznacz krótszy bok przez x, mierząc długości w centymetrach. Dłuższy bok ma więc x + 5. Obwód obejmuje dwa krótsze i dwa dłuższe boki:

Po usunięciu nawiasu dostajemy , czyli i . Dłuższy bok ma 12 cm. Kontrola daje ; oba boki są dodatnie, a różnica ich długości wynosi 5 cm. Możesz też zapisać równoważne równanie , ponieważ połowa obwodu jest sumą długości dwóch sąsiednich boków.

Rysunek nie musi być wykonany w skali. Wystarczy podpisać dwie pary boków i nie pomylić obwodu z polem. Iloczyn opisywałby pole, więc nie można go przyrównać do 38 cm. Jednostki pomagają wykryć ten błąd: pole mierzymy w jednostkach kwadratowych, a obwód w jednostkach długości.

Sprawdź model, wynik i odpowiedź

Podstawienie wyniku do równania potwierdza rachunki, ale nie gwarantuje, że równanie dobrze opisuje treść. Wróć więc do wszystkich warunków zadania i sprawdź je osobno. Jeśli szukasz dwóch wielkości, wylicz obie, nawet gdy x oznacza tylko jedną z nich.

1. Przeczytaj definicję x i upewnij się, że nie zmieniła się podczas obliczeń.
2. Podstaw wynik do początkowego równania, a nie tylko do ostatniej linijki.
3. Sprawdź sumę, różnicę lub stosunek podany w treści.
4. Oceń jednostkę oraz ograniczenia: długość jest dodatnia, a liczba przedmiotów całkowita.
5. Napisz zdanie odpowiadające dokładnie na pytanie.

Do samodzielnej próby: suma dwóch liczb wynosi 31, a większa jest o 7 większa od mniejszej. Przyjmując x jako mniejszą liczbę, zapisz . Otrzymasz 12 i 19. Sprawdzenie musi objąć zarówno sumę 31, jak i różnicę 7. Przy następnym zadaniu zacznij od jednego zdania wyjaśniającego znaczenie niewiadomej; dopiero potem wybieraj działania i znak równości.