Nierówności liniowe – kiedy zmieniamy znak nierówności?

Nierówność liniową przekształcamy podobnie jak równanie, ale przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak nierówności. Samo odejmowanie tego nie powoduje. Pokażemy, skąd wynika ta reguła, jak stosować ją przy nawiasach i ułamkach oraz jak zapisać wszystkie dopuszczalne wartości niewiadomej w postaci przedziału.

Rozwiązaniem jest zbiór liczb, nie jedna liczba

Zapis oznacza wszystkie liczby rzeczywiste mniejsze od 4, na przykład 3, 0 czy −7. Sama liczba 4 nie spełnia tego warunku. Natomiast obejmuje także 4. Znaki < i > opisują nierówności ostre, a i pozwalają na równość obu stron.

Nierówność liniową z jedną niewiadomą można zapisać jako porównanie wyrażenia ax + b z liczbą, gdzie współczynnik a jest różny od zera. W zadaniach mogą występować nawiasy i ułamki; po uproszczeniu zależność nadal jest liniowa, jeżeli x nie pojawia się w potędze innej niż pierwsza ani w mianowniku.

Celem przekształceń jest otrzymanie prostego warunku na x przy zachowaniu dokładnie tego samego zbioru rozwiązań. Możesz dodawać i odejmować tę samą wielkość po obu stronach, tak jak przy równaniach liniowych z jedną niewiadomą. Różnica dotyczy działania liczb ujemnych na kolejność liczb.

Kiedy odwracamy znak nierówności?

Weź prawdziwą nierówność . Pomnożenie obu stron przez 3 daje : kolejność jest taka sama. Jeśli jednak pomnożysz obie strony przez −3, otrzymasz liczby −6 i −15. Teraz −6 jest większe od −15, więc poprawny zapis to .

Mnożenie przez liczbę ujemną zamienia kolejność liczb na osi. Dlatego znak < zmieniamy na >, znak > na <, a na i odwrotnie. Dzielenie przez liczbę ujemną działa tak samo, bo jest mnożeniem przez jej ujemną odwrotność. Równość pozostaje możliwa, więc nie zmieniamy nierówności nieostrej w ostrą.

Działanie po obu stronach	Co ze znakiem?	Przykład
Dodanie lub odjęcie tej samej liczby	Zostaje bez zmiany	, więc po odjęciu 3
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę dodatnią	Zostaje bez zmiany	, więc po pomnożeniu przez 2
Mnożenie lub dzielenie przez liczbę ujemną	Odwracamy kierunek	, więc po pomnożeniu przez −1
Dzielenie przez zero	Niedozwolone	Nie wykonujemy tego działania

Mnożenie przez zero także nie służy do równoważnego przekształcania nierówności: usuwa informację o x. Nie wolno ponadto dzielić obu stron przez wyrażenie zawierające x bez ustalenia jego znaku i sprawdzenia, czy nie jest zerem. W przykładach liniowych poniżej dzielimy wyłącznie przez znane, niezerowe liczby.

W lekcji Khan Academy po polsku zobaczysz nierówność z ułamkami, zmianę znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną oraz zaznaczenie odpowiedzi na osi.

Przykład z liczbą ujemną i nawiasem

Rozwiążmy nierówność . Odejmujemy 4 po obu stronach i otrzymujemy . To odejmowanie nie zmienia kierunku nierówności. Dopiero dzielenie przez −3 wymaga jego odwrócenia:

Sprawdźmy dwie liczby. Dla x równego −3 lewa strona początkowej nierówności wynosi 13, więc warunek 13 ≥ 10 jest prawdziwy. Dla x równego 0 lewa strona wynosi 4, a 4 ≥ 10 jest fałszywe. Liczba −2 daje równość 10 = 10, dlatego należy do odpowiedzi.

Teraz przykład z nawiasem: . Mnożymy oba składniki nawiasu przez −2, otrzymując , czyli . Po odjęciu 3 mamy , a po podzieleniu przez −2:

Usunięcie nawiasu samo w sobie nie odwraca znaku nierówności: tylko zastępujemy wyrażenie równym mu wyrażeniem. Błąd często polega na zapisie −2x + 2 zamiast −2x − 2. Jeżeli gubisz się przy minusie przed nawiasem, sprawdź kolejność wykonywania działań i rozpisuj mnożenie każdego składnika.

Ułamki: wybierz dodatni wspólny mianownik

W nierówności z liczbowymi mianownikami możesz pozbyć się ułamków, mnożąc obie strony przez ich dodatnią wspólną wielokrotność. Nie zmieniasz wtedy kierunku nierówności. Dla przykładu:

Wybieramy 6. Mnożymy przez tę liczbę każdy składnik, również jedynkę po prawej stronie. Powstaje . Po otwarciu nawiasów otrzymujemy , następnie i . Teraz dzielimy przez −1, więc:

Dla liczby granicznej −14 początkowa lewa strona wynosi −5 − (−6), czyli 1. Dla x równego 0 wynosi −1/3 − 1 = −4/3, więc nierówność jest prawdziwa. Dla x równego −20 daje −7 − (−9) = 2, co nie spełnia warunku. Te trzy podstawienia kontrolują granicę i obie strony przedziału.

Nie skracaj sumy przez usunięcie jednego składnika licznika i mianownika. W wyrażeniu mianownik dzieli cały licznik. Nawiasy po usunięciu ułamków przypominają, że wszystkie jego składniki trzeba przemnożyć. Jeśli mianownik zawiera niewiadomą, zadanie wymaga innych zasad i nie jest przykładem omawianego tu typu.

Przedział i zaznaczenie odpowiedzi na osi

Warunek zapisujemy jako . Nawias kwadratowy przy −2 oznacza, że ta liczba należy do zbioru. Na osi stawiamy przy niej pełny punkt i zaznaczamy wszystkie liczby na lewo.

Dla odpowiedni zapis to . Przy −3 stawiamy pusty punkt i zaznaczamy liczby na prawo. Z kolei daje : pełny punkt przy −14 i zaznaczenie w prawo. Używamy tutaj średnika do oddzielania końców przedziału; niektóre podręczniki stosują przecinek lub inne oznaczenia domknięcia.

Nieskończoność nie jest liczbą, którą można podstawić za x. Przy symbolach nieskończoności zawsze piszemy nawias okrągły. Przedział zawiera wszystkie liczby rzeczywiste spełniające warunek, również ułamki i liczby niewymierne. Nie ograniczaj zaznaczenia do kolejnych liczb całkowitych, chyba że zadanie wyraźnie wymaga takiej dziedziny.

Co zrobić, gdy niewiadoma znika?

W zadaniu z wyrażeniami liniowymi współczynniki przy x mogą się zredukować. Dla dostajemy , a po odjęciu 2x: . To prawda niezależnie od wartości x. Odpowiedzią jest cały zbiór liczb rzeczywistych, o ile nie podano dodatkowych ograniczeń.

Natomiast prowadzi do . To zdanie fałszywe, więc żadna liczba rzeczywista nie spełnia początkowej nierówności. Zbiór rozwiązań jest pusty, oznaczamy go . W obu przypadkach nie próbujemy dzielić przez współczynnik 0 przy x.

• Po uproszczeniu sprawdź, czy wyraz z x nadal występuje.
• Przed dzieleniem zapisz znak dzielnika; dla ujemnego odwróć nierówność.
• Oceń, czy granica należy do odpowiedzi: znaki nieostre ją obejmują.
• Sprawdź liczbę z przedziału, liczbę spoza niego i granicę.

Do ćwiczenia rozwiąż . Po odjęciu 7 otrzymasz , a po podzieleniu przez −2: , czyli . Liczba 3 daje równość, więc jest wykluczona. Przy każdym następnym przekształceniu nazwij wykonywane działanie: to pozwoli odróżnić zwykłe odejmowanie od dzielenia przez liczbę ujemną.