Archives grudzień 2019

Bez kategorii

Pierwiastkowanie

by Redakcja

Pierwiastkowanie to odwrotność potęgowania. Wiec jak się wykonuje pierwiastkowanie? Otóż pierwiastkowanie to szukanie liczby która podniesiona do potęgi drugiej da nam liczbę pod pierwiastkiem.

Działania na pierwiastkach

Działania na pierwiastkach to skomplikowany temat ale dzięki wzorom i przykładom podanym poniżej poznasz zasady takie jak: dodawanie pierwiastków, mnożenie pierwiastków, dzielenie pierwiastków lub potęgowanie pierwiastków

Wzory używane w pierwiastkowaniu:

\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}

\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}

Blog

Potęgowanie

by Redakcja

Potęgowanie liczb to inny, krótszy sposób zapisu mnożenia tej samej liczby przez siebie. Działania na potęgach mogą sprawić problemu nie jednemu uczniowi. Wzorów stosowanych w potęgowaniu jest sporo. Pamiętaj, że wszystkie wzory będziesz miał na karcie wzorów podczas matury. Dzięki temu dodawanie potęg, potęgowanie ułamków zwykłych czy mnożenie potęg nie będzie problemem. Dzięki tym wzorom potęga o wykładniku wymiernym nie będzie problemem.

Wzory na potęgowanie liczb

a^{0} = 1

a^{1} = a

a^{-x} = \frac{1}{a^{x}}

(\frac{a}{b})^{-x} =(\frac{b}{a})^{x}

a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}

a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^{m} = \sqrt[n]{a^{m}}

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x+y}

\frac{a^{x}}{a^{y}}= a^{x-y}

(a^{x})^{y} = a^{x\cdot y}

(a\cdot b)^{x} =a^{x}\cdot b^{x}

(\frac{a}{b})^{x}= \frac{a^{x}}{b^{x}}

Bez kategorii

Średnia ważona

by Redakcja

srednia-wazona-wzor

Średnia ważona liczb służy do liczenia średniej liczb jednakże z tą różnicą miedzy średnią arytmetyczną a średnią ważoną jest przede wszystkim taka ze w średniej ważonej w głównej mierze najważniejsza jest waga samej liczby. Zastosowanie ma to w wielu aspektach życia, ja jednak przytoczę prosty przykład do czego należy używać średniej ważonej. Za pomocą średniej ważonej liczb możemy oblicz średnią ocen z matematyki. Jak wiemy oceny ze sprawdzianów są ważniejsze niż oceny z pracy domowej lub oceny z kartkówek. I właśnie w tym przypadku średnia ważona ocen znajduje idealne zastosowanie.

Jak obliczyć średnią ważoną?

Obliczanie średniej ważonej najłatwiej obliczyć za pomocą wzoru na średnią ważoną. Wystarczy znać wartość liczb oraz ich wagę a następnie podstawić do wzoru poniżej. Wzór może wydawać się skomplikowany lecz jak zaczniemy podstawiać wszystko nam się szybko wyjaśni i okaże, że ten wzór jest bardzo prosty w zastosowaniu i liczeniu.

Wzór na średnią ważoną: 

srednia-ważona

Bez kategorii

Średnia arytmetyczna

by Redakcja

srednia-arytmetyczna

Średnią arytmetyczną liczb nazywamy sumę liczb danego zbioru podzielonych przez liczbę cyfr w danym zbiorze. Średnia arytmetyczna jest najpopularniejszym określeniem wielkości populacji czy średniej ocen z matematyki. Za pomocą średniej możemy określić średnią krajową pensję lub np. średnią cenę jabłek za rok 2018. Pamiętajcie jednak, że średnia arytmetyczna nie zawsze do końca jest prawdziwa jeśli liczby w danym zbiorze nie są równomierne rozłożone.

Jak obliczyć średnią arytmetyczną?

Średnia arytmetyczną możemy obliczyć na dwa sposoby, albo skorzystać z podanego poniżej wzoru na średnią arytmetyczną lub dodać wszystkie liczby do siebie i podzielić je przez liczbę wyrazów w tym zbiorze.

Wzór na średnią arytmetyczną:

wzór-na-srednia-arytmetyczne

Matematyka w szkole

Procenty

by Redakcja

Procenty są jednym z najbardziej wszechstronnych i użytecznych narzędzi matematycznych, które można spotkać na różnych etapach nauki. Od podstawowej szkoły po studia wyższe, procenty są używane do opisu różnych zjawisk, od ocen w szkole po analizę danych finansowych. Procent, który oznacza „na sto”, jest sposobem wyrażenia liczby jako ułamek z mianownikiem 100. Na przykład, 25% to równoważne ułamkowi 25/100 lub dziesiętnemu 0,25.

Podstawowe zadania z procentami:

\text{Zadanie 1: Oblicz 15\% liczby 200}

Sposób rozwiązania: 15\% \times 200 = \frac{15}{100} \times 200 = 30

\text{Zadanie 2: Cena produktu wynosiła 100 zł. Cena została obniżona o 20\%. Ile wynosi nowa cena?}

Sposób rozwiązania: \text{Obniżka} = 20\% \times 100 \text{ zł} = 20 \text{ zł} \text{Nowa cena} = 100 \text{ zł} - 20 \text{ zł} = 80 \text{ zł}

\text{Zadanie 3: Jaka jest wartość 40\% liczby 250?}

Sposób rozwiązania: 40\% \times 250 = \frac{40}{100} \times 250 = 100

Te zadania to tylko wierzchołek góry lodowej, jeśli chodzi o możliwości wykorzystania procentów w matematyce. Są one używane w statystyce, naukach przyrodniczych, finansach i wielu innych dziedzinach. Zrozumienie, jak działa procent, otwiera drzwi do głębszego zrozumienia wielu innych zagadnień matematycznych.

Matematyka w szkole

Potęgowanie

by Redakcja

Potęgi są jednym z fundamentalnych pojęć w matematyce, umożliwiającym skrócony zapis operacji mnożenia tego samego wyrażenia przez siebie określoną liczbę razy. Choć samo pojęcie może wydawać się prostą koncepcją, stanowi kluczowy element w różnych dziedzinach matematyki, nauk ścisłych i inżynierii.

Definicja potęgi:

Jeżeli  a  jest liczbą rzeczywistą, a n liczbą całkowitą dodatnią, potęgą n liczby a nazywamy
iloczyn  n czynników  a:

a^{n} = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ razy}}

Przykłady:

Przykład 1:

2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

Przykład 2:

5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125

Właściwości potęg:

Potęgi mają kilka ciekawych właściwości, które upraszczają obliczenia. Oto kilka z nich:

a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

(a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m-n} \quad (a \neq 0)

a^{-n} = \frac{1}{a^n} \quad (a \neq 0)

Wzory skróconego mnożenia:

Wzory skróconego mnożenia są bardzo przydatne przy obliczeniach związanych z potęgami. Oto kilka z nich:

a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)

(a+b)^{2} = a^2 + 2ab + b^2

(a-b)^{2} = a^2 - 2ab + b^2

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

Zrozumienie tych reguł i umiejętne ich zastosowanie znacząco przyspiesza rozwiązywanie różnego rodzaju problemów matematycznych.