Potęgowanie i pierwiastkowanie

Potęgowanie to działanie matematyczne które ma na celu uprościć długi zapis mnożenia takich samych cyfr.

\[a^{n}= b\]

a – podstawa potęgi

n – wykładnik potęgi

b – wynik potęgowania

Potęgowanie przykłady:

\[3^{2} = 3 \cdot 3 = 9\] \[7^{4} = 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 = 2401\] \[11^{2} = 11 \cdot 11 = 121\] \[2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024\]

Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie to działanie które ma na celu znaleźć liczbę która do odpowiedniej potęgi da nam liczbę pod pierwiastkiem. Ogólny zapis pierwiastka wygląda tak.

\[\sqrt{36}\]

Przykłady pierwiastkowania:

\[\sqrt{81} = 9\] \[\sqrt{36}=6\] \[\sqrt{25}=5\] \[\sqrt{64}=8\]

W matematyce występują również pierwiastki wyższego stopnia:

\[\sqrt[3]{8} = 2\] \[\sqrt[4]{16} = 2\] \[\sqrt[3]{27} = 3\]

Skracanie ułamków

Skracanie ułamków stosujemy po to by otrzymać jak najmniejsze możliwe liczby. Dzięki temu rozwiązywanie zadań staje się znacznie łatwiejsze. Skracanie polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tą samą liczbę. Skracanie możemy wykonywać również na działaniu mnożenia.

Skracanie ułamków przykłady:

\[\frac{4}{8} = \frac{1}{2}   \hspace{2in}  \frac{4:4}{8:4} = \frac{1}{2}\]
\[\frac{7}{21} = \frac{1}{3}   \hspace{2in}  \frac{7:7}{21:7} = \frac{1}{3}\]
\[\frac{15}{25} = \frac{3}{5}   \hspace{2in}  \frac{15:5}{25:5} = \frac{3}{5}\]
\[\frac{2}{8} = \frac{1}{4}   \hspace{2in}  \frac{2:2}{8:2} = \frac{1}{4}\]

\[\frac{40}{90} = \frac{4}{9}   \hspace{2in}  \frac{40:10}{90:10} = \frac{4}{9}\]
\[\frac{300}{700} = \frac{3}{7}   \hspace{2in}  \frac{300:100}{700:100} = \frac{3}{7}\]

Dzielenie ułamków czyli odwrotność mnożenia

Dzielenie ułamków to proste działania które nie wymagają od Ciebie sporej wiedzy, wystarczy że będziesz potrafił mnożyć ułamki i znał tabliczkę mnożenia. Otóż dzielenie polega na odwróceniu dzielnika działania a następnie wykonanie mnożenia ułamków.

\[dzielna : dzielnik = iloraz\]

Dzielenie ułamków zobacz jak to się robi

\[\frac{6}{10} : \frac{3}{7} = \frac{6}{10} \cdot \frac{7}{3} =\frac{42}{30}\] \[\frac{1}{2} : \frac{2}{7} = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2} =\frac{7}{4} = 1\tfrac{3}{4}\] \[4 : \frac{1}{3} = \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{1} =\frac{12}{1} = 12\] \[\frac{3}{7} : 4 = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{1} =\frac{12}{7} = 1\tfrac{5}{7}\] \[3\tfrac{1}{7} : \frac{2}{6} = \frac{22}{7} \cdot \frac{6}{2} =\frac{132}{14} = 9\tfrac{8}{14}\] \[\frac{7}{4} : 1\tfrac{5}{6} = \frac{7}{4} \cdot \frac{6}{11} =\frac{42}{44}\]

Mnożenie ułamków

Mnożenie ułamków jest dość prostą czynnością którą należy znać. Jest to jedna z umiejętności bez których dalsza nauka matematyki nie ma sensu, gdyż w każdym innym dziale matematyki będzie się z niej korzystać. Zasada jest jedna mianowicie licznik przez licznik a mianownik przez mianownik. Nie musimy sprowadzać do wspólnego mianownika ani nic z tych rzeczy.

\[\frac{licznik}{mianownik}\]

A teraz kilka przykładów:

\[\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{15}\] \[\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{8}{15}\] \[4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\]

Odejmowanie ułamków

Odejmowanie ułamków jest prostą rzeczą jednak aby sprawnie odejmować musisz poznać zasadę która nazywa się sprowadzanie do wspólnego mianownika. 

Odejmowanie ułamków polega na odejmowaniu liczników jeśli mają ten sam mianownik. Jeśli mają różne mianowniki najpierw należy je sprowadzić do wspólnego mianownika a następnie je odjąć.

\[\frac{licznik}{mianownik}\]

Teraz podam kilka przykładów ułamków z takim samym mianownikiem.

\[\frac{3}{7}, \frac{1}{7} ,\frac{7}{7}\]

A teraz parę przykładów z różnymi mianownikami których nie można odjąć bez uprzedniego sprowadzenia do wspólnego mianownika.

\[\frac{5}{12}, \frac{4}{6} ,\frac{2}{4}, \frac{7}{32}\]

Odejmowanie o tych samych mianownikach:

\[\frac{3}{6}-\frac{1}{6} = \frac{2}{6}\] \[\frac{7}{10}-\frac{1}{10} = \frac{6}{10}\] \[\frac{35}{47}+\frac{15}{47} = \frac{20}{47}\]

A teraz podobnie tylko różne mianowniki. Jak widzicie takiego ułamka nie możemy odjąc dlatego musimy poszukać im wspólnego mianownika. Pamiętajcie przy rozszerzaniu ułamka licznik i mianownik pomnożyć przez tą samą liczbe

\[\frac{2}{3}-\frac{2}{8} = \frac{16}{24} – \frac{6}{24} = \frac{10}{24}\] \[\frac{1}{3}-\frac{1}{9} = \frac{3}{9} – \frac{1}{9} = \frac{2}{9}\] \[\frac{2}{3}-\frac{2}{4} = \frac{8}{12} – \frac{6}{12} = \frac{2}{12}\]

Dodawanie ułamków

Dodawanie ułamków nie jest trudną rzeczą wystarczy że poznasz proste wytyczne aby móc je wykonywać. Dodawanie ułamków polega na dodawaniu liczników jeśli mają ten sam mianownik. Jeśli mają różne mianowniki najpierw należy je sprowadzić do wspólnego mianownika a następnie je dodać.

\[\frac{licznik}{mianownik}\]

Teraz podam kilka przykładów takich samych mianowników.

\[\frac{3}{8}, \frac{5}{8} ,\frac{7}{8}\]

A teraz kilka przykładów z róznymi mianownikami których nie można dodać bez uprzedniego sprowadzenia do wspólnych liczników.

\[\frac{5}{12}, \frac{4}{6} ,\frac{2}{4}, \frac{7}{32}\]

Dodawanie ułamków o tych samych mianownikach:

\[\frac{1}{6}+\frac{3}{6} = \frac{4}{6}\] \[\frac{7}{10}+\frac{1}{10} = \frac{8}{10}\] \[\frac{5}{47}+\frac{35}{47} = \frac{40}{47}\]

A teraz to samo tylko różne mianowniki. Jak widzicie takiego ułamka nie możemy dodać dlatego musimy poszukać im wspólnego mianownika. Pamiętajcie przy rozszerzaniu ułamka licznik i mianownik pomnożyć przez tą samą liczbe

\[\frac{2}{3}+\frac{2}{8} = \frac{16}{24} + \frac{6}{24} = \frac{22}{24}\] \[\frac{2}{9}+\frac{1}{3} = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9}\] \[\frac{2}{4}+\frac{2}{3} = \frac{6}{12} + \frac{8}{12} = \frac{14}{12}\]

Sprowadzanie do wspólnego mianownika:

Przykład : \[\frac{2}{4},\frac{2}{3} \]

Aby te ułamki sprowadzić na wspólnego mianownika należy pomnożyć przez siebie.

\[\frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 3},\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{6}{12}, \frac{8}{12}\]

Przykład:

\[\frac{1}{4},\frac{1}{6} \] \[\frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6},\frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{6}{24}, \frac{4}{24}\]

Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań to zagadnienie bez którego poprawne rozwiązywanie zadań jest niemożliwe. Aby móc rozwiązywać zadania wystarczy zapoznać się z kilkoma prostymi regułami.

  1. Działania w nawiasach
  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie
  3. Mnożenie i dzielenie (Jeśli jest kilka takich działań to wykonujemy po kolei od lewej do prawej)
  4. Dodawanie i odejmowanie  (Jeśli jest kilka takich działań to wykonujemy po kolei od lewej do prawej)

A teraz kilka przykładów:

Na początku zajmujemy się nawiasami

\[4 + (4\cdot4) = 4 + 16 = 20\] \[(3 \cdot 6) + (12 – 5) \cdot 4 = 18 + 7 \cdot 4 = 18 + 28 = 46\]

W tym przepadku najpierw zajmujemy się potęgowaniem i pierwiastkowaniem.

\[2^{2} + \sqrt{36} \cdot 4 = 4 + 6 \cdot 4 = 4 + 24 = 28\] \[\sqrt{25} + 4 \cdot 7 + 2^{2} = 5 + 4 \cdot 7 + 4 = 5 + 28 + 4 = 37\]

Kilka takich samych działań.

\[3 \cdot 5 + 5 \cdot 4 + 9 \cdot 3= 15 + 20+ 27= 62\] \[4 + 4 – 3 +5 = 8 – 3 +5 = 5 +5=10\]

A teraz wszystko razem

\[ 3^{2} + (12 -7) \cdot 3 + \sqrt{16} -3 + (27 : 9) – 4 \]

Na początek działania w nawiasach.

\[ 3^{2} + 5 \cdot 3 + \sqrt{16} – 3+ 3 – 4  \]

Następne jest pierwiastkowanie i potęgowanie.

\[9 + 5 \cdot 3 + 4 – 3 + 3 \]

Teraz mnożenie i dzielenie

\[9 + 15 + 4 – 3 + 3\]

A teraz dodawanie i odejmowanie(po kolei od lewej do prawej)

\[9 + 15 + 4 – 3 +3 = 28\]

Wzór na pole trapezu, wzór na obwód trapezu.

Wzór na pole trapezuwzór na obwód trapezu znajdziesz na naszej stronie! – Matematicus.pl zawsze pomocni!

Własności trapezu:

  • Wysokością trapezu nazywamy odcinek łączący obie podstawy.
  • Jedna para boków równoległa.
  • Suma miar wszystkich kątów wynosi 360 stopni.
  • W trapezie równoramiennym kąty przy podstawie są równe.
  • Przekątne w trapezie równoramiennym są równej długości.

Wzór na pole trapezu:

wzór na pole trapezu

\[P = \frac{a+b}{2} \cdot h\]

Wzór na obwód trapezu: 

wzór na obwód trapezu

\[Obw = a + b + c + d\]

Wzór na pole trójkąta równobocznego, wzór na obwód trójkąta.

Wzór na pole trójkąta równobocznegowzór na obwód trójkąta znajdziesz na naszej stronie! – Matematicus.pl zawsze pomocni!

Wyróżniamy 3 rodzaje trójkątów:

  • Trójkąty równoramienne
  • Trójkąty równoboczne
  • Trójkąty prostokątne

Wzór na pole trójkąta równobocznego: 

wzór na pole trójkąta równobocznego\[P = \frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}\]

Wzór na pole trójkąta:wzór na pole trójkąta

\[P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\]

Wysokość w trójkącie oznacza się zazwyczaj literą h. Jest to najkrótszy możliwy odcinek łączący wierzchołek z przeciwległym bokiem trójkąta. Wysokość jest zawsze prostopadła do przeciwległego boku.

Wzór na obwód trójkąta:

\[Obw = a + b + c\]

Wzór na pole rombu, wzór na obwód rombu oraz własności rombu

Wzór na pole rombuwzór na obwód rombu znajdziesz na naszej stronie! – Matematicus.pl zawsze pomocni!

Własności rombu:

  • Każdy romb jest równoległobokiem.
  • Przekątne przecinają się pod kątem prostym i dzielą na połowy.
  • Romb ma wszystkie boki równe.
  • Miara kątów w rombie wynosi 360 stopni.

Wzór na pole rombu:

wzór na pole rombu

\[P = \frac{e \cdot f}{2}\]

Przykładowe zadanie: Oblicz pole rombu który posiada przekątne o długości 5 cm i 7cm.

\[P = \frac{5cm \cdot 7cm}{2}\] \[P = \frac{35cm^{2}}{2}\] \[P = 17,5cm^{2}\]

 

wzór na pole rombu\[P = a \cdot h\]

Przykładowe zadanie: Oblicz pole rombu o boku 3 cm i wysokości 4cm.

\[P = 3cm \cdot 4cm\] \[P = 12cm^{2}\]

Wzór na obwód rombu:

wzór na pole rombu

\[P = 4a\]

Przykładowe zadanie: Oblicz obwód rombu o boku 5cm.

\[P = 4a\] \[P = 4 \cdot 5cm\] \[P = 20 cm\]